题目
21.已知男子有5%%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
21.已知男子有5%%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
题目解答
答案
设事件M表示被挑选的人是男性,事件C表示被挑选的人是色盲患者。我们需要求解条件概率P(M|C),即在已知被挑选的人是色盲患者的条件下,此人是男性的概率。
根据题意,男性色盲患者的概率为5%,女性色盲患者的概率为0.25%。因此,我们可以得到以下信息:
P(M ∩ C) = P(M) * P(C|M) = 0.5 * 0.05 = 0.025
P(~M ∩ C) = P(~M) * P(C|~M) = 0.5 * 0.0025 = 0.00125
其中,P(M)和P(~M)分别表示男性和非男性(女性)的概率,P(C|M)和P(C|~M)分别表示在男性和非男性中患色盲的概率。
然后,我们可以使用贝叶斯定理来计算所求的条件概率:
P(M|C) = P(M ∩ C) / P(C)
其中,P(C)表示被挑选的人是色盲患者的概率。由全概率公式:
P(C) = P(M ∩ C) + P(~M ∩ C) = 0.025 + 0.00125 = 0.02625
因此:
P(M|C) = 0.025 / 0.02625 ≈ 0.9524
所以,在已知被挑选的人是色盲患者的条件下,此人是男性的概率约为 0.9524 或 95.24%。
解析
步骤 1:定义事件
设事件M表示被挑选的人是男性,事件C表示被挑选的人是色盲患者。我们需要求解条件概率P(M|C),即在已知被挑选的人是色盲患者的条件下,此人是男性的概率。
步骤 2:计算联合概率
根据题意,男性色盲患者的概率为5%,女性色盲患者的概率为0.25%。因此,我们可以得到以下信息:
P(M ∩ C) = P(M) * P(C|M) = 0.5 * 0.05 = 0.025
P(~M ∩ C) = P(~M) * P(C|~M) = 0.5 * 0.0025 = 0.00125
其中,P(M)和P(~M)分别表示男性和非男性(女性)的概率,P(C|M)和P(C|~M)分别表示在男性和非男性中患色盲的概率。
步骤 3:计算全概率
由全概率公式:
P(C) = P(M ∩ C) + P(~M ∩ C) = 0.025 + 0.00125 = 0.02625
步骤 4:应用贝叶斯定理
根据贝叶斯定理,我们可以计算所求的条件概率:
P(M|C) = P(M ∩ C) / P(C) = 0.025 / 0.02625 ≈ 0.9524
设事件M表示被挑选的人是男性,事件C表示被挑选的人是色盲患者。我们需要求解条件概率P(M|C),即在已知被挑选的人是色盲患者的条件下,此人是男性的概率。
步骤 2:计算联合概率
根据题意,男性色盲患者的概率为5%,女性色盲患者的概率为0.25%。因此,我们可以得到以下信息:
P(M ∩ C) = P(M) * P(C|M) = 0.5 * 0.05 = 0.025
P(~M ∩ C) = P(~M) * P(C|~M) = 0.5 * 0.0025 = 0.00125
其中,P(M)和P(~M)分别表示男性和非男性(女性)的概率,P(C|M)和P(C|~M)分别表示在男性和非男性中患色盲的概率。
步骤 3:计算全概率
由全概率公式:
P(C) = P(M ∩ C) + P(~M ∩ C) = 0.025 + 0.00125 = 0.02625
步骤 4:应用贝叶斯定理
根据贝叶斯定理,我们可以计算所求的条件概率:
P(M|C) = P(M ∩ C) / P(C) = 0.025 / 0.02625 ≈ 0.9524