题目
11、设随机变量X的概率密度函数为f(x)=}2kx^2, & 0le x<2 (1)/(3)(4-x), & 2le xle 4 0, & 其它求：1)常数k；(6分)2)P(1≤X≤3)；(6分)3)Y=X²的概率密度函数.(8分)
11、设随机变量X的概率密度函数为
$$
f(x)=\begin{cases}
2kx^{2}, & 0\le x<2 \\
\frac{1}{3}(4-x), & 2\le x\le 4 \\
0, & 其它
\end{cases}
$$
求：1)常数k；(6分)
2)P{1≤X≤3}；(6分)
3)Y=X²的概率密度函数.(8分)
题目解答
答案
1. **求常数 $k$**
由概率密度函数的性质，积分和为1：
$$
\int_0^2 2kx^2 \, dx + \int_2^4 \frac{1}{3}(4-x) \, dx = 1
$$
计算得：
$$
\frac{16k}{3} + \frac{2}{3} = 1 \implies k = \frac{1}{16}
$$
2. **求 $P\{1 \leq X \leq 3\}$**
$$
P\{1 \leq X \leq 3\} = \int_1^2 \frac{x^2}{8} \, dx + \int_2^3 \frac{4-x}{3} \, dx = \frac{7}{24} + \frac{1}{2} = \frac{19}{24}
$$
3. **求 $Y = X^2$ 的概率密度函数**
对 $y = x^2$ 求导，得 $x = \sqrt{y}$，$\left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2\sqrt{y}}$。
分段计算：
- 当 $0 \leq y < 4$ 时，$f_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{16}$；
- 当 $4 \leq y \leq 16$ 时，$f_Y(y) = \frac{4 - \sqrt{y}}{6\sqrt{y}}$。
**答案**
$$
\boxed{
\begin{cases}
\frac{\sqrt{y}}{16}, & 0 \leq y < 4 \\
\frac{4 - \sqrt{y}}{6\sqrt{y}}, & 4 \leq y \leq 16 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
}
$$