题目
(4)若级数的部分和 _(n)=dfrac (1)(12)n(n+1)(2n+1) ,其一般项是 () .-|||-(A) dfrac (n(n+1))(2) (B) dfrac (n(n-1))(2) (C) dfrac ((n-1)(n+1))(2) (D) dfrac ({n)^2}(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定一般项的定义
级数的一般项 $a_n$ 可以通过部分和 $S_n$ 和 $S_{n-1}$ 的差来确定，即 $a_n = S_n - S_{n-1}$。
步骤 2：计算 $S_{n-1}$
根据给定的 $S_n$，我们首先计算 $S_{n-1}$：
$$S_{n-1} = \dfrac {1}{12}(n-1)n(2(n-1)+1) = \dfrac {1}{12}(n-1)n(2n-1)$$
步骤 3：计算 $a_n$
根据步骤 1 的定义，我们计算 $a_n$：
$$a_n = S_n - S_{n-1} = \dfrac {1}{12}n(n+1)(2n+1) - \dfrac {1}{12}(n-1)n(2n-1)$$
$$a_n = \dfrac {1}{12}n[(n+1)(2n+1) - (n-1)(2n-1)]$$
$$a_n = \dfrac {1}{12}n[2n^2 + 3n + 1 - (2n^2 - 3n + 1)]$$
$$a_n = \dfrac {1}{12}n[6n]$$
$$a_n = \dfrac {1}{2}n^2$$
级数的一般项 $a_n$ 可以通过部分和 $S_n$ 和 $S_{n-1}$ 的差来确定，即 $a_n = S_n - S_{n-1}$。
步骤 2：计算 $S_{n-1}$
根据给定的 $S_n$，我们首先计算 $S_{n-1}$：
$$S_{n-1} = \dfrac {1}{12}(n-1)n(2(n-1)+1) = \dfrac {1}{12}(n-1)n(2n-1)$$
步骤 3：计算 $a_n$
根据步骤 1 的定义，我们计算 $a_n$：
$$a_n = S_n - S_{n-1} = \dfrac {1}{12}n(n+1)(2n+1) - \dfrac {1}{12}(n-1)n(2n-1)$$
$$a_n = \dfrac {1}{12}n[(n+1)(2n+1) - (n-1)(2n-1)]$$
$$a_n = \dfrac {1}{12}n[2n^2 + 3n + 1 - (2n^2 - 3n + 1)]$$
$$a_n = \dfrac {1}{12}n[6n]$$
$$a_n = \dfrac {1}{2}n^2$$