题目

设向量1 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -1，则向量1 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -1的内积，夹角，二者的关系分别为（）.1 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -11 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -11 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -11 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -11 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -1正交1 1-|||-α1= 0 ,α2= 1-|||--1 -1线性无关但不正交

设向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$ ，则向量 $\alpha_1,\alpha_2$ 的内积，夹角，二者的关系分别为（）.

$A.2$

$B.\sqrt{2}$

$C.\frac{\pi}{4}$

$D.\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$

$E.$ 正交

$F.$ 线性无关但不正交

题目解答

答案

由于 $\alpha_1=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$

故由向量内积的计算公式可知： $\left(\alpha_1,\alpha_2\right)=1\times1+0\times1+\left(-1\right)\times\left(-1\right)$ $=1+0+1=2$

故 $\alpha_1,\alpha_2$ 的内积是2

由向量的模的计算公式可知： $\left|\alpha_1\right|=\sqrt{1^2+0^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$\left|\alpha_2\right|=\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

故 $\cos<\alpha_1,\alpha_2>=\frac{\left(\alpha_1,\alpha_2\right)}{\left|\alpha_1\right|\cdot\left|\alpha_2\right|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}$ $=\frac{\sqrt{6}}{3}$

故 $\alpha_1,\alpha_2$ 的夹角是 $\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$

由于 $\left(\alpha_1,\alpha_2\right)=2\ne0$

故由向量正交的定义可知： $\alpha_1,\alpha_2$ 不正交

设 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0$

故 $k_1\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}=0$

故 $\begin{pmatrix} k_1+k_2\\ k_2\\ -k_1-k_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

故 $k_1+k_2=0,k_2=0$

故 $k_1=k_2=0$

由向量组线性无关的定义可知： $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关

即 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关但不正交

故答案是： $\alpha_1,\alpha_2$ 的内积是2， $\alpha_1,\alpha_2$ 的夹角是 $\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关但不正交，选 $A,D,F.$