题目

判断题11. 函数 f(x) 在点 x_0 处可微的充分必要条件是函数 f(x) 在点 x_0 处可导. 12. x=-1 为函数 f(x)=(x-1)/(x^2-1) 的第一类间断点. 13. 由参数方程 } x=t^2 y=t^3 所确定的曲线在 t=1 对应点处的切线斜率为 k=2. 14. 方程 x^3+x-1=0 在开区间 (0,1) 内至少存在一根. 15. 函数 z=ymathrm(e)^x 在点 (0,1) 处的全微分 mathrm(d)z|_((0,1))=mathrm(d)x+mathrm(d)y.

判断题 11. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充分必要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 12. $x=-1$ 为函数 $f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$ 的第一类间断点. 13. 由参数方程 $\begin{cases} x=t^2 \\ y=t^3 \end{cases}$ 所确定的曲线在 $t=1$ 对应点处的切线斜率为 $k=2$. 14. 方程 $x^3+x-1=0$ 在开区间 $(0,1)$ 内至少存在一根. 15. 函数 $z=y\mathrm{e}^x$ 在点 $(0,1)$ 处的全微分 $\mathrm{d}z|_{(0,1)}=\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$.

题目解答

答案

我们逐题分析并判断下列命题的真假，给出详细的解题过程。

11. 函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可微的充分必要条件是函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导。

解题过程：

在一元函数中，函数在某点“可微”与“可导”是等价的概念。

  • 严格定义：函数 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可微，是指存在常数 $ A $，使得
    $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \Delta x + o(\Delta x), \quad \text{当 } \Delta x \to 0.$
    此时称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可微，且 $ A = f'(x_0) $。

  • 而可导的定义是极限
    $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
    存在。

可以证明：一元函数在某点可导 ⇔ 可微，且导数就是微分的系数。

因此，该命题是正确的。

答案： 正确（√）

12. $ x = -1 $ 为函数 $ f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1} $ 的第一类间断点。

解题过程：

先化简函数：

注意到分母 $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $，分子是 $ x - 1 $，所以当 $ x \ne 1 $ 且 $ x \ne -1 $ 时，
$f(x) = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}, \quad x \ne 1, x \ne -1.$

注意：虽然分子分母都有 $ x - 1 $，可以约去，但约去后定义域仍要排除 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $。

所以我们重点考察 $ x = -1 $ 处的间断类型。

  • 函数在 $ x = -1 $ 处无定义，是间断点。
  • 计算左右极限：

$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x + 1} = -\infty$
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x + 1} = +\infty$

左右极限都不存在（趋于无穷），因此不是有限极限。

第一类间断点的定义是：左右极限都存在且为有限值，但不相等或函数值不匹配。

而此处极限为无穷，属于第二类间断点（无穷间断点）。

所以 $ x = -1 $ 是第二类间断点。

原命题说它是第一类间断点，错误。

答案： 错误（×）

13. 由参数方程 $ \begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases} $ 所确定的曲线在 $ t = 1 $ 对应点处的切线斜率为 $ k = 2 $。

解题过程：

参数方程下，切线斜率公式为：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \text{当 } \frac{dx}{dt} \ne 0.$

计算导数：

  • $ \frac{dx}{dt} = 2t $
  • $ \frac{dy}{dt} = 3t^2 $

所以
$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}, \quad t \ne 0.$

当 $ t = 1 $ 时，
$k = \frac{dy}{dx} = \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2}$

而题目说斜率 $ k = 2 $，显然不对。

答案： 错误（×）

14. 方程 $ x^3 + x - 1 = 0 $ 在开区间 $ (0,1) $ 内至少存在一根。

解题过程：

设函数 $ f(x) = x^3 + x - 1 $，它在 $ [0,1] $ 上连续。

计算端点函数值：

  • $ f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0 $
  • $ f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0 $

根据介值定理，连续函数在区间端点异号，则在 $ (0,1) $ 内至少存在一个零点。

即方程在 $ (0,1) $ 内至少有一个实根。

答案： 正确（√）

15. 函数 $ z = y e^x $ 在点 $ (0,1) $ 处的全微分 $ dz|_{(0,1)} = dx + dy $。

解题过程：

函数 $ z = y e^x $ 是二元函数。

全微分公式为：
$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

计算偏导数：

  • $ \frac{\partial z}{\partial x} = y e^x $
  • $ \frac{\partial z}{\partial y} = e^x $

在点 $ (0,1) $ 处：

  • $ \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(0,1)} = 1 \cdot e^0 = 1 $
  • $ \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(0,1)} = e^0 = 1 $

所以全微分为：
$dz|_{(0,1)} = 1 \cdot dx + 1 \cdot dy = dx + dy$

与题目所给一致。

答案： 正确（√）

最终答案汇总：

  1. 正确
  2. 错误
  3. 错误
  4. 正确
  5. 正确

用题目要求的格式表示：

$\boxed{ \begin{aligned}&11.\ \text{正确} \\&12.\ \text{错误} \\&13.\ \text{错误} \\&14.\ \text{正确} \\&15.\ \text{正确}\end{aligned} }$

解析

本题主要考查函数可微与可导的关系、间断点的分类、参数方程求切线斜率以及介值定理和全微分的计算。

  1. 判断函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微与可导的关系：
    在一元函数中，函数在某点“可微”与“可导”是等价的概念。
    严格定义：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，是指存在常数 $A$，使得
    $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \Delta x + o(\Delta x), \quad \text{当 } \Delta x \to 0.$
    此时称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，且 $A = f'(x_0)$。
    而可导的定义是极限
    $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
    存在。
    可以证明：一元函数在某点可导 ⇔ 可微，且导数就是微分的系数。
    因此，该命题是正确的。
  2. 判断 $x = -1$ 为函数 $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1}$ 的第一类间断点：
    先化简函数：
    注意到分母 $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，分子是 $x - 1$，所以当 $x \ne 1$ 且 $x \ne -1$ 时，
    $f(x) = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}, \quad x \ne 1, x \ne -1.$
    注意：虽然分子分母都有 $x - 1$，可以约去，但约去后定义域仍要排除 $x = 1$ 和 $x = -1$。
    所以我们重点考察 $x = -1$ 处的间断类型。
    函数在 $x = -1$ 处无定义，是间断点。 计算左右极限：
    $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x + 1} = -\infty$
    $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x + 1} = +\infty$
    左右极限都不存在（趋于无穷），因此不是有限极限。
    第一类间断点的定义是：左右极限都存在且为有限值，但不相等或函数值不匹配。
    而此处极限为无穷，属于第二类间断点（无穷间断点）。
    所以 $x = -1$ 是第二类间断点。
    原命题说它是第一类间断点，错误。
  3. 求由参数方程 $\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases}$ 所确定的曲线在 $t = 1$ 对应点处的切线斜率：
    参数方程下，切线斜率公式为：
    $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \text{当 } \frac{dx}{dt} \ne 0.$
    计算导数：
    $\frac{dx}{dt} = 2t$
    $\frac{dy}{dt} = 3t^2$
    所以
    $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}, \quad t \ne 0.$
    当 $t = 1$ 时，
    $k = \frac{dy}{dx} = \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2}$
    而题目说斜率 $k = 2$，显然不对。
  4. 判断方程 $x^3 + x - 1 = 0$ 在开区间 $(0,1)$ 内至少存在一根：
    设函数 $f(x) = x^3 + x - 1$，它在 $[0,1]$ 上连续。
    计算端点函数值：
    $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$
    $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$
    根据介值定理，连续函数在区间端点异号，则在 $(0,1)$ 内至少存在一个零点。
    即方程在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
  5. 求函数 $z = y e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的全微分：
    函数 $z = y e^x$ 是二元函数。
    全微分公式为：
    $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$
    计算偏导数：
    $\frac{\partial z}{\partial x} = y e^x$
    $\frac{\partial z}{\partial y} = e^x$
    在点 $(0,1)$ 处：
    $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(0,1)} = 1 \cdot e^0 = 1$
    $\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(0,1)} = e^0 = 1$
    所以全微分为：
    $dz|_{(0,1)} = 1 \cdot dx + 1 \cdot dy = dx + dy$
    与题目所给一致。