题目

已知三个车间某季度四种产品的产量为 A = } 5 & 2 & 1 & 3 2 & 0 & 3 & 0 0 & 5 & 6 & 0 ）（每一列分别代表四种产品的价格和重量），问三个车间的销售额和产品重量各是多少？（写出解答过程，可拍照上传至答题区）

已知三个车间某季度四种产品的产量为 $ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} $（每一行代表一个车间该季度四种产品的产量），四种产品的价格和重量分别为 $ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \）（每一列分别代表四种产品的价格和重量），问三个车间的销售额和产品重量各是多少？（写出解答过程，可拍照上传至答题区）

题目解答

答案

设矩阵 $ A $ 表示三个车间的产量，矩阵 $ B $ 表示四种产品的价格和重量。
矩阵 $ A $ 为：
$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$
矩阵 $ B $ 为：
$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

计算 $ AB $：
$AB = \begin{pmatrix} 5 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 3 + 3 \times 2 & 5 \times 1 + 2 \times 3 + 1 \times 4 + 3 \times 1 \\ 2 \times 2 + 0 \times 1 + 3 \times 3 + 0 \times 2 & 2 \times 1 + 0 \times 3 + 3 \times 4 + 0 \times 1 \\ 0 \times 2 + 5 \times 1 + 6 \times 3 + 0 \times 2 & 0 \times 1 + 5 \times 3 + 6 \times 4 + 0 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 18 \\ 13 & 14 \\ 23 & 39 \end{pmatrix}$

答案：
三个车间的销售额和产品重量分别为：

  • 第一车间：销售额 21，产品重量 18
  • 第二车间：销售额 13，产品重量 14
  • 第三车间：销售额 23，产品重量 39

或表示为矩阵：
$\boxed{\begin{pmatrix}21 & 18 \\13 & 14 \\23 & 39\end{pmatrix}}$
（第一列表示销售额，第二列表示产品重量）

解析

本题考查矩阵乘法在实际问题中的应用。解题思路是根据矩阵乘法的规则，用表示车间产量的矩阵 $A$ 乘以表示产品价格和重量的矩阵 $B$，得到的结果矩阵中每一行的两个元素分别对应一个车间的销售额和产品重量。

下面进行详细的计算：
已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$，矩阵 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$。
根据矩阵乘法规则，若 $C = AB$，其中 $C$ 的元素 $c_{ij}$ 等于 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和，即 $c_{ij}=\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj}$（这里 $n = 4$）。

  • 计算 $AB$ 第一行第一列的元素：
    $c_{11}=5\times2 + 2\times1 + 1\times3 + 3\times2$
    $=10 + 2 + 3 + 6$
    $=21$
  • 计算 $AB$ 第一行第二列的元素：
    $c_{12}=5\times1 + 2\times3 + 1\times4 + 3\times1$
    $=5 + 6 + 4 + 3$
    $=18$
  • 计算 $AB$ 第二行第一列的元素：
    $c_{21}=2\times2 + 0\times1 + 3\times3 + 0\times2$
    $=4 + 0 + 9 + 0$
    $=13$
  • 计算 $AB$ 第二行第二列的元素：
    $c_{22}=2\times1 + 0\times3 + 3\times4 + 0\times1$
    $=2 + 0 + 12 + 0$
    $=14$
  • 计算 $AB$ 第三行第一列的元素：
    $c_{31}=0\times2 + 5\times1 + 6\times3 + 0\times2$
    $=0 + 5 + 18 + 0$
    $=23$
  • 计算 $AB$ 第三行第二列的元素：
    $c_{32}=0\times1 + 5\times3 + 6\times4 + 0\times1$
    $=0 + 15 + 24 + 0$
    $=39$

所以 $AB = \begin{pmatrix} 21 & 18 \\ 13 & 14 \\ 23 & 39 \end{pmatrix}$。