题目
已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，过点B（0，-1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）A. C的准线为y=-1B. 直线AB与C相切C. |OP|•|OQ|＞|OA|2D. |BP|•|BQ|＞|BA|2
已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，过点B（0，-1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为y=-1
B. 直线AB与C相切
C. |OP|•|OQ|＞|OA|2
D. |BP|•|BQ|＞|BA|2
题目解答
答案
BCD
B. 直线AB与C相切
C. |OP|•|OQ|＞|OA|2
D. |BP|•|BQ|＞|BA|2
B. 直线AB与C相切
C. |OP|•|OQ|＞|OA|2
D. |BP|•|BQ|＞|BA|2
解析
步骤 1：确定抛物线的参数
点A（1，1）在抛物线C：x^{2}=2py（p＞0）上，代入点A的坐标，得到1^{2}=2p*1，解得p=1/2。因此，抛物线的方程为x^{2}=y，准线方程为y=-1/4，选项A错误。
步骤 2：判断直线AB与抛物线C的关系
由于A（1，1），B（0，-1），则${k}_{AB}=\frac{1-（-1）}{1-0}=2$，直线AB的方程为y=2x-1。联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$，可得x^{2}-2x+1=0，解得x=1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确。
步骤 3：判断|OP|•|OQ|与|OA|^{2}的关系
根据对称性及步骤2的分析，不妨设过点B的直线方程为y=kx-1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x_1，y_1），Q（x_2，y_2）。联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y并整理可得x^{2}-kx+1=0，则x_1+x_2=k，x_1x_2=1，${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}-1）（k{x}_{2}-1）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+1=1$。$|OP|•|OQ|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$$≥\sqrt{2{x}_{1}{y}_{1}}•\sqrt{2{x}_{2}{y}_{2}}=2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}=2=|OA{|}^{2}$，由于等号在x_1=x_2=y_1=y_2=1时才能取到，故等号不成立，选项C正确。
步骤 4：判断|BP|•|BQ|与|BA|^{2}的关系
$|BP||BQ|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}+1）^{2}}•\sqrt{{x}^{2}+（{y}_{2}+1）^{2}}$$＞\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+4{y}_{1}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+4{y}_{2}}=\sqrt{5{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{5{{x}_{2}}^{2}}$=$5\sqrt{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}=5=|BA{|}^{2}$，选项D正确。
点A（1，1）在抛物线C：x^{2}=2py（p＞0）上，代入点A的坐标，得到1^{2}=2p*1，解得p=1/2。因此，抛物线的方程为x^{2}=y，准线方程为y=-1/4，选项A错误。
步骤 2：判断直线AB与抛物线C的关系
由于A（1，1），B（0，-1），则${k}_{AB}=\frac{1-（-1）}{1-0}=2$，直线AB的方程为y=2x-1。联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$，可得x^{2}-2x+1=0，解得x=1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确。
步骤 3：判断|OP|•|OQ|与|OA|^{2}的关系
根据对称性及步骤2的分析，不妨设过点B的直线方程为y=kx-1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x_1，y_1），Q（x_2，y_2）。联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y并整理可得x^{2}-kx+1=0，则x_1+x_2=k，x_1x_2=1，${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}-1）（k{x}_{2}-1）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+1=1$。$|OP|•|OQ|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$$≥\sqrt{2{x}_{1}{y}_{1}}•\sqrt{2{x}_{2}{y}_{2}}=2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}=2=|OA{|}^{2}$，由于等号在x_1=x_2=y_1=y_2=1时才能取到，故等号不成立，选项C正确。
步骤 4：判断|BP|•|BQ|与|BA|^{2}的关系
$|BP||BQ|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}+1）^{2}}•\sqrt{{x}^{2}+（{y}_{2}+1）^{2}}$$＞\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+4{y}_{1}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+4{y}_{2}}=\sqrt{5{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{5{{x}_{2}}^{2}}$=$5\sqrt{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}=5=|BA{|}^{2}$，选项D正确。