若 f(z) 在 z_0 点不解析，则 f(z) 在 z_0 点必不可导。______A. 对B. 错

解析性与可导性是复变函数中的核心概念。

• 解析性要求函数在某点的邻域内处处可导，而可导性仅要求函数在该点本身存在导数。
• 题目中的陈述混淆了两者的关系：即使函数在某点不解析（即邻域内不处处可导），该点本身仍可能存在导数。
• 关键反例：存在函数在某点可导但邻域内其他点不可导，此时该点不解析，但可导性仍然成立。

概念辨析

1. 解析性定义：函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析 $\iff$ 在 $z_0$ 的某个邻域内处处可导。
2. 可导性定义：函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导 $\iff$ 极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$ 存在。

反例分析

考虑函数 $f(z) = |z|^2$：

• 在 $z=0$ 处可导：
  计算导数定义式：
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^2}{h}.$
  当 $h$ 沿实轴或虚轴趋近于 $0$ 时，极限均为 $0$，故 $f(z)$ 在 $z=0$ 处可导，导数为 $0$。
• 在 $z=0$ 处不解析：
  对任意 $z \neq 0$，$f(z)$ 不满足柯西-黎曼方程，因此在 $z=0$ 的邻域内其他点不可导，故不解析。

结论

不解析（邻域内不处处可导）不排除该点可导，因此原命题错误。