题目
设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，则透镜落下三次而未打破的概率为(）. A. (1)/(200)B. (3)/(200)C. (3)/(100)D. (9)/(200)
设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为$1/2$，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为$7/10$，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为$9/10$，则透镜落下三次而未打破的概率为(）.
- A. $\frac{1}{200}$
- B. $\frac{3}{200}$
- C. $\frac{3}{100}$
- D. $\frac{9}{200}$
题目解答
答案
设事件 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别表示透镜在第一次、第二次、第三次落下时打破。
已知：
- $P(A_1) = \frac{1}{2}$，
- $P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{7}{10}$，
- $P(A_3 | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{9}{10}$。
求三次未打破的概率 $P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3})$：
\[
P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = \frac{1}{2},
\]
\[
P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) = 1 - P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{3}{10},
\]
\[
P(\overline{A_3} | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 1 - P(A_3 | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{1}{10}.
\]
利用条件概率乘法法则：
\[
P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_3} | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{200}.
\]
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：定义事件
设事件 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别表示透镜在第一次、第二次、第三次落下时打破。
步骤 2：计算各事件的概率
已知：
- $P(A_1) = \frac{1}{2}$，
- $P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{7}{10}$，
- $P(A_3 | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{9}{10}$。
步骤 3：计算未打破的概率
求三次未打破的概率 $P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3})$：
\[ P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = \frac{1}{2}, \]
\[ P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) = 1 - P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{3}{10}, \]
\[ P(\overline{A_3} | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 1 - P(A_3 | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{1}{10}. \]
步骤 4：利用条件概率乘法法则
\[ P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_3} | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{200}. \]
设事件 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别表示透镜在第一次、第二次、第三次落下时打破。
步骤 2：计算各事件的概率
已知：
- $P(A_1) = \frac{1}{2}$，
- $P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{7}{10}$，
- $P(A_3 | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{9}{10}$。
步骤 3：计算未打破的概率
求三次未打破的概率 $P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3})$：
\[ P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = \frac{1}{2}, \]
\[ P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) = 1 - P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{3}{10}, \]
\[ P(\overline{A_3} | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 1 - P(A_3 | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{1}{10}. \]
步骤 4：利用条件概率乘法法则
\[ P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_3} | \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{200}. \]