题目
设 Sigma 是平面 x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a 所围成的立方体的全表面的外侧，则 int_(Sigma) x^2 dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy =A. a^4B. 3a^4C. a^3D. 3a^3
设 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a$ 所围成的立方体的全表面的外侧，则 $\int_{\Sigma} x^2 dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy =$
A. $a^4$
B. $3a^4$
C. $a^3$
D. $3a^3$
题目解答
答案
B. $3a^4$
解析
步骤 1：计算向量场的散度
向量场 $\mathbf{F} = (x^2, y^2, z^2)$ 的散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)$。
步骤 2：应用高斯公式
根据高斯公式，原积分等于散度在立方体内的三重积分：$\iiint_{V} 2(x + y + z) \, dV$。
步骤 3：计算三重积分
积分范围为 $0 \leq x, y, z \leq a$，计算得：$2 \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = 2 \cdot \frac{3a^4}{2} = 3a^4$。
向量场 $\mathbf{F} = (x^2, y^2, z^2)$ 的散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)$。
步骤 2：应用高斯公式
根据高斯公式，原积分等于散度在立方体内的三重积分：$\iiint_{V} 2(x + y + z) \, dV$。
步骤 3：计算三重积分
积分范围为 $0 \leq x, y, z \leq a$，计算得：$2 \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = 2 \cdot \frac{3a^4}{2} = 3a^4$。