设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．（1）证明B可逆．（2）求AB-1．

考查要点：本题主要考查初等矩阵的性质、矩阵乘积的可逆性以及逆矩阵的运算规则。

解题核心思路：

1. 第（1）问：通过构造初等矩阵$E_{ij}$，将矩阵$B$表示为初等矩阵与$A$的乘积，利用初等矩阵可逆且可逆矩阵乘积仍可逆的性质完成证明。
2. 第（2）问：根据$B$的表达式推导$B^{-1}$，结合矩阵乘法的结合律，化简$AB^{-1}$，最终利用初等矩阵的对称性（$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$）得出结果。

破题关键点：

• 初等矩阵的构造：明确对换两行的初等矩阵形式及其逆矩阵的性质。
• 逆矩阵的运算顺序：注意$(E_{ij}A)^{-1}=A^{-1}E_{ij}^{-1}$，避免顺序错误。

第（1）题

证明思路：

1. 构造初等矩阵：设$E_{ij}$为将单位矩阵第$i$行与第$j$行对换后的矩阵，则$B=E_{ij}A$。
2. 初等矩阵的可逆性：$E_{ij}$是初等矩阵，因此可逆且$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$。
3. 乘积的可逆性：$A$可逆，$E_{ij}$可逆，故$B=E_{ij}A$可逆。

结论：$B$可逆。

第（2）题

求解步骤：

1. 求$B^{-1}$：
   由$B=E_{ij}A$，得
   $B^{-1}=(E_{ij}A)^{-1}=A^{-1}E_{ij}^{-1}=A^{-1}E_{ij}.$
2. 计算$AB^{-1}$：
   $AB^{-1}=A \cdot A^{-1}E_{ij}=(AA^{-1})E_{ij}=E_{ij}.$

结论：$AB^{-1}=E_{ij}$。