题目
64.设函数F(x)=}(int_(0)^xf(t)dt)/(x),&xneq0,0,&x=0,(f(x))/(x)=1.证明：F'(x)在x=0处连续.
64.设函数$F(x)=\begin{cases}\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x},&x\neq0,\\0,&x=0,\end{cases}$其中f(x)在(-∞,+∞)内连续,且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1.$
证明：F'(x)在x=0处连续.
题目解答
答案
1. **求导 $F(x)$ 对于 $x \neq 0$**：
使用商法则得
\[
F'(x) = \frac{x f(x) - \int_0^x f(t) \, dt}{x^2}.
\]
2. **求导 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处**：
由导数定义
\[
F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t) \, dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{1}{2}.
\]
3. **证明连续性**：
计算
\[
\lim_{x \to 0} F'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - \int_0^x f(t) \, dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{2} = \frac{f'(0)}{2} = \frac{1}{2}.
\]
故 $\lim_{x \to 0} F'(x) = F'(0)$，即 $F'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。
**答案**：
\[
\boxed{F'(x) \text{ 在 } x = 0 \text{ 处连续.}}
\]
解析
步骤 1：求导 $F(x)$ 对于 $x \neq 0$
使用商法则求导，得到
\[ F'(x) = \frac{x f(x) - \int_0^x f(t) \, dt}{x^2}. \]
步骤 2：求导 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处
由导数定义，计算
\[ F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t) \, dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{1}{2}. \]
步骤 3：证明连续性
计算
\[ \lim_{x \to 0} F'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - \int_0^x f(t) \, dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{2} = \frac{f'(0)}{2} = \frac{1}{2}. \]
故 $\lim_{x \to 0} F'(x) = F'(0)$，即 $F'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。
使用商法则求导，得到
\[ F'(x) = \frac{x f(x) - \int_0^x f(t) \, dt}{x^2}. \]
步骤 2：求导 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处
由导数定义，计算
\[ F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t) \, dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{1}{2}. \]
步骤 3：证明连续性
计算
\[ \lim_{x \to 0} F'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - \int_0^x f(t) \, dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{2} = \frac{f'(0)}{2} = \frac{1}{2}. \]
故 $\lim_{x \to 0} F'(x) = F'(0)$，即 $F'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。