设A为n阶反对称矩阵,证明:-|||-(1) E+A 可逆;-|||-(2) =(E+A)((E-A))^-1 为正交阵.

考查要点：本题主要考查反对称矩阵的性质及其相关矩阵的可逆性和正交性证明。
解题思路：

1. 第一问：利用反证法，结合反对称矩阵的二次型性质（即$x^T A x = 0$），通过矛盾推导出$E+A$可逆。
2. 第二问：通过计算$Q Q^T$，利用反对称矩阵的转置性质和矩阵乘法的结合律，逐步化简验证其等于单位矩阵，从而证明$Q$为正交矩阵。
   关键点：

• 反对称矩阵的二次型恒为零；
• 正交矩阵的定义（$Q Q^T = E$）；
• 矩阵转置与逆运算的结合性质。

第（1）题

目标：证明$E+A$可逆。
步骤：

1. 假设反证：若$E+A$不可逆，则齐次方程组$(E+A)x=0$存在非零解$x_0$。
2. 构造二次型：计算$x_0^T (E+A) x_0$。
   • 展开得：$x_0^T E x_0 + x_0^T A x_0 = x_0^T x_0 + x_0^T A x_0$。
   • 关键性质：因$A$为反对称矩阵，$x_0^T A x_0 = 0$（二次型恒为零）。
3. 矛盾推导：原式化简为$x_0^T x_0 > 0$，但根据方程组解的定义，$x_0^T (E+A) x_0 = 0$，矛盾。故假设不成立，$E+A$可逆。

第（2）题

目标：证明$Q=(E+A)(E-A)^{-1}$为正交矩阵。
步骤：

1. 计算$Q Q^T$：
   $Q Q^T = (E+A)(E-A)^{-1} \left[(E-A)^{-1}\right]^T (E+A)^T.$
2. 简化转置与逆：
   • $(E-A)^{-1}$的转置为$(E-A^T)^{-1} = (E+A)^{-1}$（因$A^T = -A$）。
   • $(E+A)^T = E - A$。
3. 代入并化简：
   $Q Q^T = (E+A)(E-A)^{-1} (E+A)^{-1} (E - A).$
4. 结合矩阵乘法：
   • $(E-A)^{-1} (E+A)^{-1} = [(E+A)(E-A)]^{-1}$。
   • $(E+A)(E-A) = E - A^2$，但因$A$反对称，$A^2$为对称负定矩阵，故$E - A^2$可逆。
5. 最终化简：
   $Q Q^T = (E+A)(E - A^2)^{-1} (E - A)(E+A)^{-1} = E.$
   因此，$Q$为正交矩阵。