14.四棱锥P-ABCD中，AB=AD=sqrt(10)，CB=CD=5，∠BAD=90°，PB=4，PC=3，△PBC内部点Q满足四棱锥Q-ABCD与三棱锥Q-PAD的体积相等，则PQ长的最小值为______.
题目解答
答案
设点 $Q$ 在 $\triangle PBC$ 内，满足 $V_{Q-ABCD} = V_{Q-PAD}$。延长 $PQ$ 交 $BC$ 于 $R$，令 $\overrightarrow{BR} = \lambda \overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{PQ} = \mu \overrightarrow{PR}$。
由体积关系，得 $\mu = \frac{6}{\lambda + 8}$。
计算 $PQ^2 = \mu^2 \overrightarrow{PR}^2$，其中 $\overrightarrow{PR}^2 = 16(1 - \lambda)^2 + 9\lambda^2$。
令 $t = \lambda + 8$，则 $PQ^2 = 36 \left( 25 - \frac{432}{t} + \frac{1872}{t^2} \right)$。
求导得最小值在 $t = \frac{26}{3}$，此时 $PQ^2 = \frac{36}{13}$。
答案： $\boxed{\frac{6\sqrt{13}}{13}}$
解析
考查要点：本题主要考查空间几何体的体积计算、向量参数法的应用，以及利用导数求函数最小值的能力。
解题核心思路：
- 体积关系转化：通过体积相等条件，建立参数关系，将几何问题转化为代数问题。
- 向量参数法：引入参数λ、μ，表示点Q的位置，利用向量比例关系简化计算。
- 优化问题：通过变量替换和求导，找到PQ长度的最小值。
破题关键点：
- 延长PQ交BC于R，将点Q的位置与线段PR关联，建立参数λ。
- 体积关系推导μ：利用四棱锥与三棱锥体积相等，得到μ与λ的关系式。
- 函数最值求解：将PQ²表示为λ的函数，通过变量替换和求导找到最小值。
步骤1：建立参数关系
设点Q在△PBC内部，延长PQ交BC于点R，令$\overrightarrow{BR} = \lambda \overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{PQ} = \mu \overrightarrow{PR}$。
体积关系：
四棱锥$Q-ABCD$的体积可分解为三棱锥$Q-PAD$与四棱锥$Q-PBCD$的体积之和。根据题意，$V_{Q-ABCD} = V_{Q-PAD}$，可得：
$V_{Q-PBCD} = 0 \implies Q$在$PBCD$上的投影使体积抵消，推导得$\mu = \frac{6}{\lambda + 8}$。
## 步骤2：计算PQ的表达式
**向量PR的模长**：
由$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PB} + \lambda \overrightarrow{BC}$，结合已知$PB=4$，$BC=3$，得：$
\overrightarrow{PR}^2 = 16(1 - \lambda)^2 + 9\lambda^2.
$**PQ的平方**：$
PQ^2 = \mu^2 \overrightarrow{PR}^2 = \left(\frac{6}{\lambda + 8}\right)^2 \left[16(1 - \lambda)^2 + 9\lambda^2\right].
$## 步骤3：变量替换与求导
令$t = \lambda + 8$，则$\lambda = t - 8$，代入得：$
PQ^2 = 36 \left(25 - \frac{432}{t} + \frac{1872}{t^2}\right).
$对$t$求导并令导数为0，解得$t = \frac{26}{3}$，此时：$
PQ^2 = \frac{36}{13} \implies PQ = \frac{6\sqrt{13}}{13}.$$