41. (2.0分) dx=____^d((1)/(3)x-2),d(x^2+3)=____xdx 第1空

为了解决给定的问题，我们需要理解微分的概念。函数 $ f(x) $ 的微分由 $ df(x) = f'(x) \, dx $ 给出，其中 $ f'(x) $ 是 $ f(x) $ 的导数。 让我们从第一部分开始：$ dx = \text{____} \, d\left(\frac{1}{3}x - 2\right) $。 1. 设 $ u = \frac{1}{3}x - 2 $。那么 $ u $ 关于 $ x $ 的微分是： \[ du = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x - 2\right) \, dx = \frac{1}{3} \, dx \] 2. 我们需要将 $ dx $ 表示为 $ du $ 的形式。从 $ du = \frac{1}{3} \, dx $，我们可以解出 $ dx $： \[ dx = 3 \, du \] 3. 因此，第一部分的答案是： \[ dx = 3 \, d\left(\frac{1}{3}x - 2\right) \] 现在，让我们进行第二部分：$ d(x^2 + 3) = \text{____} \, x \, dx $。 1. 设 $ v = x^2 + 3 $。那么 $ v $ 关于 $ x $ 的微分是： \[ dv = \frac{d}{dx}(x^2 + 3) \, dx = 2x \, dx \] 2. 我们需要将 $ dv $ 表示为 $ x \, dx $ 的形式。从 $ dv = 2x \, dx $，我们可以看到： \[ dv = 2x \, dx \implies d(x^2 + 3) = 2x \, dx \] 3. 因此，第二部分的答案是： \[ d(x^2 + 3) = 2 \, x \, dx \] 将两部分的答案组合起来，我们得到： \[ \boxed{3 \text{ 和 } 2} \]