题目
3.求由 (int )_(0)^y(e)^tdt+(int )_(0)^xcos tdt=0 所确定的隐函数对x的导数 dfrac (dy)(dx).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定隐函数
给定的方程是 ${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt+{\int }_{0}^{x}\cos tdt=0$，这是一个隐函数方程，其中y是x的函数。
步骤 2：对x求导
对给定方程的两边分别对x求导。根据微积分基本定理，${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt$ 对y求导得到 ${e}^{y}$，而 ${\int }_{0}^{x}\cos tdt$ 对x求导得到 $\cos x$。因此，方程两边对x求导得到 ${e}^{y}\dfrac {dy}{dx}+\cos x=0$。
步骤 3：解出 $\dfrac {dy}{dx}$
从 ${e}^{y}\dfrac {dy}{dx}+\cos x=0$ 中解出 $\dfrac {dy}{dx}$，得到 $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {\cos x}{{e}^{y}}$。由于 ${e}^{y}$ 是正数，可以写成 $\dfrac {dy}{dx}=-{e}^{-y}\cos x$。
给定的方程是 ${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt+{\int }_{0}^{x}\cos tdt=0$，这是一个隐函数方程，其中y是x的函数。
步骤 2：对x求导
对给定方程的两边分别对x求导。根据微积分基本定理，${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt$ 对y求导得到 ${e}^{y}$，而 ${\int }_{0}^{x}\cos tdt$ 对x求导得到 $\cos x$。因此，方程两边对x求导得到 ${e}^{y}\dfrac {dy}{dx}+\cos x=0$。
步骤 3：解出 $\dfrac {dy}{dx}$
从 ${e}^{y}\dfrac {dy}{dx}+\cos x=0$ 中解出 $\dfrac {dy}{dx}$，得到 $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {\cos x}{{e}^{y}}$。由于 ${e}^{y}$ 是正数，可以写成 $\dfrac {dy}{dx}=-{e}^{-y}\cos x$。