题目
6.求二元函数(x,y)=6xy-(x)^3-(y)^3-|||-__的极值。
6.求二元函数
的极值。
题目解答
答案
对二元函数求偏导得：
令
解出f(x,y)的全部驻点为(0,0)，(2,2)
计算
代入(0,0)得
没有极值
代入(2,2)得
，且A=-12<0，有极大值为
综上：函数在点(2,2)处取极大值，极大值为8。
解析
步骤 1：求偏导数
对二元函数$f(x,y)=6xy-{x}^{3}-{y}^{3}$求偏导得：
${f}_{x}(x,y)=6y-3{x}^{2}$
${f}_{y}(x,y)=6x-3{y}^{2}$
步骤 2：求驻点
令$\left \{ \begin{matrix} {f}_{x}(x,y)=6y-3{x}^{2}=0\\ {f}_{y}(x,y)=6x-3{y}^{2}=0\end{matrix} \right.$
解出f(x,y)的全部驻点为(0,0)，(2,2)
步骤 3：计算二阶偏导数
$A={f}_{xx}(x,y)=-6x$
$B={f}_{xy}(x,y)=6$
$C={f}_{yy}(x,y)=-6y$
步骤 4：计算$AC-{B}^{2}$
代入(0,0)得$AC-{B}^{2}\lt 0$没有极值
代入(2,2)得$AC-{B}^{2}\gt 0$，且A=-12<0，有极大值为f(2,2)=8
对二元函数$f(x,y)=6xy-{x}^{3}-{y}^{3}$求偏导得：
${f}_{x}(x,y)=6y-3{x}^{2}$
${f}_{y}(x,y)=6x-3{y}^{2}$
步骤 2：求驻点
令$\left \{ \begin{matrix} {f}_{x}(x,y)=6y-3{x}^{2}=0\\ {f}_{y}(x,y)=6x-3{y}^{2}=0\end{matrix} \right.$
解出f(x,y)的全部驻点为(0,0)，(2,2)
步骤 3：计算二阶偏导数
$A={f}_{xx}(x,y)=-6x$
$B={f}_{xy}(x,y)=6$
$C={f}_{yy}(x,y)=-6y$
步骤 4：计算$AC-{B}^{2}$
代入(0,0)得$AC-{B}^{2}\lt 0$没有极值
代入(2,2)得$AC-{B}^{2}\gt 0$，且A=-12<0，有极大值为f(2,2)=8