14、(8分)证明：当x>0时，(1+x)ln(1+x)>arctanx

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数单调性的判断及初始条件的应用。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式两边的表达式相减，定义为函数$f(x)$。
2. 分析函数单调性：通过求导判断$f(x)$在$x>0$时的单调性。
3. 结合初始值：利用$f(0)=0$，结合单调性得出$f(x)>0$的结论。

破题关键点：

• 导数的符号判断：需证明$f'(x)>0$，从而确定$f(x)$在$x>0$时单调递增。
• 初始条件的应用：$f(0)=0$是推导最终结论的关键。

步骤1：构造函数
定义函数$f(x) = (1+x)\ln(1+x) - \arctan x$，需证明当$x>0$时$f(x) > 0$。

步骤2：求导分析单调性
对$f(x)$求导：
$f'(x) = \frac{d}{dx}[(1+x)\ln(1+x)] - \frac{d}{dx}[\arctan x] = \ln(1+x) + 1 - \frac{1}{1+x^2}.$
进一步整理得：
$f'(x) = \ln(1+x) + \frac{x^2}{1+x^2}.$

步骤3：判断导数的符号

• $\ln(1+x)$项：当$x>0$时，$\ln(1+x) > 0$。
• $\frac{x^2}{1+x^2}$项：当$x>0$时，$\frac{x^2}{1+x^2} > 0$。
  因此，$f'(x) > 0$，说明$f(x)$在$x>0$时单调递增。

步骤4：结合初始条件
计算$f(0)$：
$f(0) = (1+0)\ln(1+0) - \arctan 0 = 0 - 0 = 0.$
由于$f(x)$在$x>0$时单调递增，且$f(0)=0$，故当$x>0$时，$f(x) > 0$。