题目

讨论级数 sum_(n=1)^infty (cos frac(npi)/(3))(2^n) 的敛散性,下列解法中正确的是() A. 由 (cos frac(npi)/(3))(2^n) leq (1)/(2^n) cdot sum_(n=1)^infty (1)/(2^n) 收敛得知 sum_(n=1)^infty (cos frac(npi)/(3))(2^n) 绝对收敛B. 由 (u_(n+1))/(u_n) = (cos frac((n+1)pi)/(3))(2^n+1) (2^n)/(cos frac(npi){3)} = (1)/(2) (cos frac((n+1)pi)/(3))(cos (npi)/(3)) < 1 得 lim_(n to infty) (u_(n+1))/(u_n) = rho < 1,故级数 sum_(n=1)^infty (cos frac(npi)/(3))(2^n) 绝对收敛C. 因极限 lim_(n to infty) u_n = lim_(n to infty) (cos frac(npi)/(3))(2^n) 不存在,故级数 sum_(n=1)^infty (cos frac(npi)/(3))(2^n) 发散D. 由于 0 leq |u_n| = | (cos frac(npi)/(3))(2^n) | leq (1)/(2^n),而 sum_(n=1)^infty (1)/(2^n) 收敛,故级数 sum_(n=1)^infty (cos frac(npi)/(3))(2^n) 绝对收敛

讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n}$ 的敛散性,下列解法中正确的是()

  • A. 由 $\frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n} \leq \frac{1}{2^n} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛得知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n}$ 绝对收敛
  • B. 由

    $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\cos \frac{(n+1)\pi}{3}}{2^{n+1}} \frac{2^n}{\cos \frac{n\pi}{3}} = \frac{1}{2} \frac{\cos \frac{(n+1)\pi}{3}}{\cos \frac{n\pi}{3}} < 1$

    得 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho < 1$,故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n}$ 绝对收敛
  • C. 因极限 $\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n}$ 不存在,故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n}$ 发散
  • D. 由于 $0 \leq |u_n| = \left| \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n} \right| \leq \frac{1}{2^n}$,而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛,故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n}$ 绝对收敛

题目解答

答案

考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n}$。 **选项分析：** - **A**：比较判别法，但需注意项的绝对值。 - **B**：比值判别法，极限为 $\frac{1}{2}$，收敛。 - **C**：极限存在且为0，不能推导发散。 - **D**：比较判别法，利用 $\left| \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n} \right| \leq \frac{1}{2^n}$，收敛。 **答案：D** 选项D正确，利用比较判别法，由 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛推得原级数绝对收敛。 \[ \boxed{D} \]

解析

本题考查级数的绝对收敛性，核心思路是通过比较判别法判断级数收敛性。关键点在于：

  1. 分子部分$\cos \frac{n\pi}{3}$是有界的，绝对值不超过1；
  2. 分母部分$2^n$呈指数增长，使得通项绝对值被几何级数控制；
  3. 选项辨析需注意比较判别法的正确应用形式（需比较绝对值），以及比值判别法的适用条件（正项级数）。

选项分析

选项A

  • 错误。虽然$\frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n} \leq \frac{1}{2^n}$成立，但比较判别法用于绝对收敛时需比较绝对值。选项未明确取绝对值，导致逻辑不严谨。

选项B

  • 错误。比值判别法要求级数为正项级数，但$\cos \frac{n\pi}{3}$会取负值，且$\frac{u_{n+1}}{u_n}$的极限不存在（因$\cos$函数周期性导致比值震荡）。因此比值判别法不适用。

选项C

  • 错误。$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n} = 0$（分子有界，分母趋于无穷大），但级数收敛的必要条件是通项趋于0，而非充分条件。

选项D

  • 正确。通过比较判别法，$\left| \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{2^n} \right| \leq \frac{1}{2^n}$，而$\sum \frac{1}{2^n}$是收敛的几何级数，故原级数绝对收敛。