3.求下列函数的极限.-|||-(1) lim _(xarrow infty )x((e)^dfrac (1{x)}-1);-|||-(2) lim _(xarrow +infty )x(dfrac (pi )(2)-arctan x);-|||-(3) lim _(xarrow 0)[ dfrac (1)(ln (x+1))-dfrac (1)(x)] ;-|||-(4) lim _(xarrow infty )x((a)^dfrac (1{x)}-1),(agt 0).

题目考察知识与解题思路

本题主要考察极限计算中的等价无穷小替换和洛必达法则，适用于“∞·0”型极限（可转化为“0/0”型或“∞/∞”型后使用）。

各小题详细解析

(1) $\lim _{x\rightarrow \infty }x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)$

• 类型转化：$x→∞$时，$\frac{1}{x}→0$，属于“∞·0”型，令$t=\frac{1}{x}$，则$x→∞⇒t→0$，原式转化为$\lim_{t→0}\frac{e^t - 1}{t}$。
• 等价无穷小替换：$t→0$时，$e^t - 1\sim t$，故$\lim_{t→0}\frac{t}{t}=1$。
• 结论：极限为$1$。

(2) $\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\dfrac {\pi }{2}-\arctan x)$

• 类型转化：$x→+∞$时，$\arctan x→\frac{\pi}{2}$，属于“∞·0”型，令$t=\arctan x$，则$x→+∞⇒t→\frac{\pi}{2}$，$x=\tan t$，原式转化为$\lim_{t→\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}-t)\tan t$。
• 洛必达法则：改写为$\lim_{t→\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{\pi}{2}-t}{\cot t}$（“0/0”型），分子分母求导：
  分子导数：$-1$，分母导数：$-\csc^2 t$，故极限为$\lim_{t→\frac{\pi}{2}}\frac{-1}{-\csc^2 t}=\lim_{t→\frac{\pi}{2}}\sin^2 t=1$。
• 结论：极限为$1$。

(3) $\lim _{x\rightarrow 0}[ \dfrac {1}{\ln (x+1)}-\dfrac {1}{x}] $

• 通分化简：原式$=\lim_{x→0}\frac{x - \ln(x+1)}{x\ln(x+1)}$，属于“0/0”型。
• 等价无穷小替换：$x→0$时，$\ln(x+1)\sim x$，故分母$x\ln(x+1)\sim x^2$，原式转化为$\lim_{x→0}\frac{x - \ln(x+1)}{x^2}$。
• 洛必达法则：分子分母求导一次：分子导数$1 - \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}\sim x$，分母导数$2x$，得$\lim_{x→0}\frac{x}{2x(x+1)}=\lim_{x→0}\frac{1}{2(x+1)}=\frac{1}{2}$。
• 结论：极限为$\frac{1}{2}$。

(4) $\lim _{x\rightarrow \infty }x({a}^{\dfrac {1}{x}}-1),(a\gt 0)$

• 类型转化：$x→∞$时，$\frac{1}{x}→0$，属于“∞·0”型，令$t=\frac{1}{x}$，则原式转化为$\lim_{t→0}\frac{a^t - 1}{t}$。
• 洛必达法则或导数定义：由导数定义，$\lim_{t→0}\frac{a^t - 1}{t}=(a^t)'\big|_{t=0}=a^t\ln a\big|_{t=0}=\ln a$。
• 结论：极限为$\ln a$。