题目

12.求极限lim_(xto0)[(1)/(x)-(1)/(ln(1+x))].

12.求极限$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right].$

题目解答

答案

为了求极限 $\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right]$，我们可以使用洛必达法则。首先，将表达式写成一个分数的形式： \[ \lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right] = \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x) - x}{x\ln(1+x)}. \] 当 $x \to 0$ 时，分子 $\ln(1+x) - x \to 0$，分母 $x\ln(1+x) \to 0$，所以这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的未定式，可以应用洛必达法则。我们对分子和分母分别求导： 分子的导数是： \[ \frac{d}{dx}[\ln(1+x) - x] = \frac{1}{1+x} - 1 = \frac{1 - (1+x)}{1+x} = \frac{-x}{1+x}. \] 分母的导数是： \[ \frac{d}{dx}[x\ln(1+x)] = \ln(1+x) + x \cdot \frac{1}{1+x} = \ln(1+x) + \frac{x}{1+x}. \] 所以，应用洛必达法则，我们得到： \[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x) - x}{x\ln(1+x)} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{-x}{1+x}}{\ln(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x\to0}\frac{-x}{(1+x)\ln(1+x) + x}. \] 再次，当 $x \to 0$ 时，分子 $-x \to 0$，分母 $(1+x)\ln(1+x) + x \to 0$，所以这是另一个 $\frac{0}{0}$ 型的未定式，我们再次应用洛必达法则。我们对分子和分母分别求导： 分子的导数是： \[ \frac{d}{dx}[-x] = -1. \] 分母的导数是： \[ \frac{d}{dx}[(1+x)\ln(1+x) + x] = \ln(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} + 1 = \ln(1+x) + 1 + 1 = \ln(1+x) + 2. \] 所以，应用洛必达法则，我们得到： \[ \lim_{x\to0}\frac{-x}{(1+x)\ln(1+x) + x} = \lim_{x\to0}\frac{-1}{\ln(1+x) + 2} = \frac{-1}{\ln(1+0) + 2} = \frac{-1}{0 + 2} = -\frac{1}{2}. \] 因此，极限是： \[ \boxed{-\frac{1}{2}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型未定式的能力，以及灵活运用洛必达法则或泰勒展开进行化简的技巧。

解题核心思路：

  1. 合并分式：将原式转化为统一的分式形式，便于后续处理。
  2. 识别未定式类型：通过观察分子和分母的趋近情况，确定是否适用洛必达法则。
  3. 多次应用洛必达法则：若第一次应用后仍为$\frac{0}{0}$型，需重复使用直到极限可直接计算。
  4. 泰勒展开的替代思路：通过展开关键函数（如$\ln(1+x)$）至适当阶数，直接化简表达式求极限。

破题关键点：

  • 合并分式是简化问题的第一步，需正确通分。
  • 两次应用洛必达法则时，需仔细计算导数，避免符号错误。
  • 泰勒展开可快速定位主部项，但需确保展开阶数足够。

步骤1：合并分式
原式可改写为：
$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right] = \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x) - x}{x\ln(1+x)}.$

步骤2：第一次应用洛必达法则
当$x \to 0$时，分子$\ln(1+x) - x \to 0$，分母$x\ln(1+x) \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型未定式。对分子和分母分别求导：

  • 分子导数：
    $\frac{d}{dx}[\ln(1+x) - x] = \frac{1}{1+x} - 1 = \frac{-x}{1+x}.$
  • 分母导数：
    $\frac{d}{dx}[x\ln(1+x)] = \ln(1+x) + \frac{x}{1+x}.$
    因此，极限变为：
    $\lim_{x\to0}\frac{\frac{-x}{1+x}}{\ln(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x\to0}\frac{-x}{(1+x)\ln(1+x) + x}.$

步骤3：第二次应用洛必达法则
再次出现$\frac{0}{0}$型未定式，对分子和分母求导：

  • 分子导数：
    $\frac{d}{dx}[-x] = -1.$
  • 分母导数：
    $\frac{d}{dx}[(1+x)\ln(1+x) + x] = \ln(1+x) + 1 + 1 = \ln(1+x) + 2.$
    代入$x=0$得：
    $\lim_{x\to0}\frac{-1}{\ln(1+x) + 2} = \frac{-1}{0 + 2} = -\frac{1}{2}.$