做一系列独立试验，每次成功的概率为0.3，则试验进行到第5次首次获得成功的概率为____；若假设试验进行到成功两次就停止，正好在第5次停止的概率为____.（保留三位有效数字）A. 0.072或0.123B. 0.043或0.127C. 0.082或0.153D. 0.051或0.143

考查要点
本题主要考查几何分布和负二项分布的应用，涉及离散型概率分布的理解与计算。

解题核心思路

1. 首次成功在第5次：属于几何分布问题，需计算前4次均失败，第5次成功的概率。
2. 第5次试验时恰好成功两次：属于负二项分布问题，需保证前4次有1次成功，第5次成功。

破题关键点

• 几何分布公式：$P(X=k) = (1-p)^{k-1} \cdot p$
• 负二项分布公式：$P(X=n) = C(n-1, r-1) \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}$，其中$r=2$，$n=5$。

第一空：首次成功在第5次

1. 几何分布公式代入
   前4次均失败的概率为$(1-p)^{4} = 0.7^{4}$，第5次成功的概率为$p=0.3$。
   因此，总概率为：
   $0.7^{4} \cdot 0.3 = 0.2401 \cdot 0.3 = 0.07203 \approx 0.072$

第二空：第5次试验时恰好成功两次

1. 负二项分布公式代入
   前4次试验中需恰好成功1次，组合数为$C(4,1)=4$，概率为：
   $C(4,1) \cdot 0.3^{2} \cdot 0.7^{3} = 4 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 4 \cdot 0.03087 = 0.12348 \approx 0.123$