题目
9.下列级数中收敛的是-|||-A. sum _(n=1)^infty dfrac ({n)^k}(n!) B. sum _(n=1)^infty dfrac ({3)^n1}({n)^n} (3^nn)/m-|||-C. sum _(n=1)^infty dfrac (n+1)({n)^2+2} D. sum _(n=1)^infty dfrac (n)(100+n)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项A
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{n}^{k}}{n!}$，其中 $k$ 是常数。根据比值判别法，考虑 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^k}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^k} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^k}{(n+1)n^k} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^{k-1}}{n^k} \right| = 0$。因为比值的极限为0，所以级数收敛。
步骤 2：分析选项B
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {3^n n}{n^n}$，考虑 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3^{n+1} (n+1)}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3 (n+1)}{(n+1) n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3}{n} \right| = 0$。因为比值的极限为0，所以级数收敛。
步骤 3：分析选项C
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n+1}{{n}^{2}+2}$，考虑 $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n + 1/n^2}{1 + 2/n^2} = 0$。因为通项的极限为0，但不能直接判断级数的收敛性，需要进一步分析。使用比较判别法，$\frac{n+1}{n^2+2} > \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 发散，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n+1}{{n}^{2}+2}$ 发散。
步骤 4：分析选项D
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{100+n}$，考虑 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{100+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 100/n} = 1$。因为通项的极限不为0，所以级数发散。
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{n}^{k}}{n!}$，其中 $k$ 是常数。根据比值判别法，考虑 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^k}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^k} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^k}{(n+1)n^k} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^{k-1}}{n^k} \right| = 0$。因为比值的极限为0，所以级数收敛。
步骤 2：分析选项B
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {3^n n}{n^n}$，考虑 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3^{n+1} (n+1)}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3 (n+1)}{(n+1) n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3}{n} \right| = 0$。因为比值的极限为0，所以级数收敛。
步骤 3：分析选项C
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n+1}{{n}^{2}+2}$，考虑 $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n + 1/n^2}{1 + 2/n^2} = 0$。因为通项的极限为0，但不能直接判断级数的收敛性，需要进一步分析。使用比较判别法，$\frac{n+1}{n^2+2} > \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 发散，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n+1}{{n}^{2}+2}$ 发散。
步骤 4：分析选项D
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{100+n}$，考虑 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{100+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 100/n} = 1$。因为通项的极限不为0，所以级数发散。