1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化趋势,-|||-写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)({2)^n}} ;-|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} ;-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} -|||-(4) dfrac {n-1)(n+1)} ;-|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} ;-|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

考查要点：判断数列收敛或发散的能力，理解数列极限的定义。

解题核心思路：

1. 收敛数列的极限存在且为有限数；发散数列则无极限（可能趋向无穷或振荡）。
2. 分析数列中各项的趋势：若存在某项趋向无穷，则数列发散；若各项趋向固定值，则收敛。

破题关键点：

• 分离项分析：将复杂表达式拆解为基本项，判断各部分的趋势。
• 极限运算规则：利用已知极限（如$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$）简化计算。

第（7）题：$\{ n - \dfrac{1}{n} \}$

分析项的趋势

• $n$项：当$n \to \infty$时，$n \to +\infty$。
• $\dfrac{1}{n}$项：当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{n} \to 0$。

合并趋势

数列可表示为：
$n - \dfrac{1}{n} = n \left(1 - \dfrac{1}{n^2}\right)$
当$n$增大时，$1 - \dfrac{1}{n^2} \to 1$，因此整体趋向于$+\infty$。

结论

数列无界且单调递增，发散。