题目
函数 z=2x^2+3y^2+4x-8 在闭区域 D: x^2+y^2 leq 4 上的最小值是().A. -6B. -8C. -10D. -12
函数 $z=2x^2+3y^2+4x-8$ 在闭区域 $D: x^2+y^2 \leq 4$ 上的最小值是().
A. -6
B. -8
C. -10
D. -12
题目解答
答案
C. -10
解析
步骤 1：求驻点
计算偏导数并设为零：\[ z_x = 4x + 4 = 0 \implies x = -1, \quad z_y = 6y = 0 \implies y = 0 \] 驻点为 $(-1, 0)$，代入函数得：\[ z(-1, 0) = -10 \]
步骤 2：边界分析
边界 $x^2 + y^2 = 4$，令 $y^2 = 4 - x^2$，代入函数得：\[ z = -x^2 + 4x + 4 \quad (-2 \leq x \leq 2) \] 求导并设为零：\[ z' = -2x + 4 = 0 \implies x = 2 \] 计算端点和临界点的值：\[ z(-2) = -8, \quad z(2) = 8 \]
步骤 3：比较值
驻点值 $-10$，边界值 $-8$ 和 $8$，最小值为 $-10$。
计算偏导数并设为零：\[ z_x = 4x + 4 = 0 \implies x = -1, \quad z_y = 6y = 0 \implies y = 0 \] 驻点为 $(-1, 0)$，代入函数得：\[ z(-1, 0) = -10 \]
步骤 2：边界分析
边界 $x^2 + y^2 = 4$，令 $y^2 = 4 - x^2$，代入函数得：\[ z = -x^2 + 4x + 4 \quad (-2 \leq x \leq 2) \] 求导并设为零：\[ z' = -2x + 4 = 0 \implies x = 2 \] 计算端点和临界点的值：\[ z(-2) = -8, \quad z(2) = 8 \]
步骤 3：比较值
驻点值 $-10$，边界值 $-8$ 和 $8$，最小值为 $-10$。