题目

将一无限长载流I的导线弯成如图所示的两个半无限长直线与一个半径R,圆心角120°的圆弧,求图中O点的磁感应强度。120°

将一无限长载流I的导线弯成如图所示的两个半无限长直线与一个半径R,圆心角 $120^{\circ}$ 的圆弧,求图中O点的磁感应强度。

题目解答

答案

要计算O点的磁感应强度，我们可以将问题分解为三个部分：两个半无限长直线和一个半径为R、圆心角为 $120°$ 的圆弧。

半无限长直线部分：

由于O点在直线的中垂线上，两个直线部分对O点的磁场贡献相互抵消，因此对O点的磁感应强度为0。

圆弧部分：

根据比奥-萨伐尔定律，圆弧上某点产生的磁感应强度公式为：

$[B=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)]$

其中， $(\mu_0)$ 是真空中的磁导率，( I ) 是电流强度，( R ) 是圆弧的半径， $(\theta)$ 是圆心角。

在O点处，两个圆弧部分的磁场合成，由于对称性，它们的合成磁场沿着O点的水平方向。因此，O点的磁感应强度为两个圆弧部分产生的磁感应强度之和。

圆弧部分的磁感应强度：

圆弧的圆心角为 $120°$ ，即 $(\theta=120^{\circ})$ 。将角度转换为弧度制：

$[\theta=\frac{120^{\circ}}{180^{\circ}}\cdot\pi=\frac{2}{3}\pi]$

将圆弧部分的磁感应强度代入公式：

$[B_{\text{arc}}=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}\mu_0I}{8\pi R}]$

因此，O点的磁感应强度为两个圆弧部分的磁感应强度之和：

$[B_O=2\cdot B_{\text{arc}}=\frac{\sqrt{3}\mu_0I}{4\pi R}]$

解析

步骤 1：分析导线的结构
将导线分为两部分：两个半无限长直线和一个半径为R、圆心角为120°的圆弧。
步骤 2：计算半无限长直线部分的磁感应强度
由于O点在直线的中垂线上，两个直线部分对O点的磁场贡献相互抵消，因此对O点的磁感应强度为0。
步骤 3：计算圆弧部分的磁感应强度
根据比奥-萨伐尔定律，圆弧上某点产生的磁感应强度公式为：$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{4\pi R}\sin (\dfrac {\theta }{2})$。其中，$\mu _0$是真空中的磁导率，$I$是电流强度，$R$是圆弧的半径，$\theta$是圆心角。将圆弧的圆心角120°转换为弧度制，代入公式计算圆弧部分的磁感应强度。
步骤 4：计算O点的磁感应强度
由于对称性，两个圆弧部分的合成磁场沿着O点的水平方向。因此，O点的磁感应强度为两个圆弧部分产生的磁感应强度之和。