设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为{ρ=kr(0⩽r⩽R)ρ=0(r>R)，k为一常量．试求电场强度E与r的函数关系．.

考查要点：本题主要考查高斯定理在球对称电荷分布中的应用，以及分段函数条件下电场强度的计算。

解题核心思路：

1. 利用高斯定理，根据电荷分布的球对称性，选取半径为$r$的球面作为高斯面。
2. 分段讨论：当$r \leq R$时，高斯面内包含部分电荷；当$r > R$时，高斯面包含所有电荷。
3. 计算总电荷量：通过积分电荷体密度$\rho(r)$得到高斯面内的总电荷$Q_{\text{enc}}$，代入高斯定理求解电场强度$E$。

破题关键点：

• 正确积分电荷体密度：注意$\rho(r) = kr$在$r \leq R$时的积分范围。
• 区分内外区域：$r \leq R$和$r > R$时电荷分布不同，需分别计算。

当$0 \leq r \leq R$时

1. 计算总电荷量：
   高斯面内电荷为
   $Q_{\text{enc}} = \int_0^r \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 \, dr' = \int_0^r kr' \cdot 4\pi r'^2 \, dr' = 4\pi k \int_0^r r'^3 \, dr' = \pi k r^4.$

2. 应用高斯定理：
   高斯面为半径$r$的球面，电场强度大小$E$均匀分布，故
   $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{\pi k r^4}{\varepsilon_0}.$
   解得
   $E = \frac{k r^2}{4\varepsilon_0} \, \mathbf{e}_r.$

当$r > R$时

1. 计算总电荷量：
   整个球体内电荷为
   $Q_{\text{total}} = \int_0^R kr \cdot 4\pi r^2 \, dr = 4\pi k \int_0^R r^3 \, dr = \pi k R^4.$

2. 应用高斯定理：
   高斯面为半径$r$的球面，电场强度大小$E$均匀分布，故
   $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{total}}}{\varepsilon_0} = \frac{\pi k R^4}{\varepsilon_0}.$
   解得
   $E = \frac{k R^4}{4\varepsilon_0 r^2} \, \mathbf{e}_r.$