题目
22.通过点 A(2,-1,3) 作平面 x-2y-2z+11=0 的垂线,求垂线方程及垂足的坐标.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定垂线的方向向量
取已知平面的法向量 $n=\{ 1,-2,-2\} $ 作为垂线的方向向量。
步骤 2：写出垂线的点向式方程
由点向式方程，垂线方程为 $\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y+1}{-2}=\dfrac {z-3}{-2}$。
步骤 3：设垂足坐标并代入平面方程
设垂足为 Q(t+2,-2t-1,-2t+3) ，则 Q 点在平面 x-2y-2z+11=0 上，代入平面方程求解 t。
步骤 4：求解 t 并确定垂足坐标
将 Q 点坐标代入平面方程，解得 t=-1，从而得到垂足的坐标为(1,1,5)。
取已知平面的法向量 $n=\{ 1,-2,-2\} $ 作为垂线的方向向量。
步骤 2：写出垂线的点向式方程
由点向式方程，垂线方程为 $\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y+1}{-2}=\dfrac {z-3}{-2}$。
步骤 3：设垂足坐标并代入平面方程
设垂足为 Q(t+2,-2t-1,-2t+3) ，则 Q 点在平面 x-2y-2z+11=0 上，代入平面方程求解 t。
步骤 4：求解 t 并确定垂足坐标
将 Q 点坐标代入平面方程，解得 t=-1，从而得到垂足的坐标为(1,1,5)。