题目

求幂级数 sum_(n=1)^infty (-1)^n ((x-1)^n)/(n+1) 的收敛半径和收敛域.

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(x-1)^n}{n+1}$ 的收敛半径和收敛域.

题目解答

答案

设幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-1)^{n}}{n+1}$，其中 $a_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$。

  1. 求收敛半径：
    由比值审敛法，$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 1$，故收敛半径 $R = 1$。

  2. 求收敛域：
    级数在区间 $(1-R, 1+R) = (0, 2)$ 内绝对收敛。

    • 端点 $x = 0$：级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$，发散（调和级数）。
    • 端点 $x = 2$：级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$，收敛（莱布尼茨判别法）。

结论：收敛半径为 $R = 1$，收敛域为 $(0, 2]$（或 $0 < x \leq 2$）。

$\boxed{R = 1, \text{收敛域为 } (0, 2]}$

解析

本题考查幂级数收敛半径和收敛域的求解。解题思路是先先根据幂级数收敛半径的公式求出收敛半径，再判断幂级数在收敛区间端点处的敛散性，进而确定收敛域。

  1. 求收敛半径半径：
    对于幂级数$\sumsum_{n = 1}^{\infty}a_n(x - x_0)^n$（本题中$x_0 = 1$，$a_n = \frac{(-1)^n}{n + 1}$），可使用比值审敛法求收敛半径$R$。
    根据比值审敛法，计算$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right|$的值：
    已知$a_n = \frac{(-1)^n}{n}{n + 1}$，$a_{n + 1} = \frac{(-1)^{n + 1}}{n + 2}$，则
    $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(-1)^{n + 1}}{n + 2}}{\frac{(-1)^n}{n + 1}} \right|$
    $=\lim_{n \to \infty} \left|(-1)\cdot\frac{n + 1}{n + 2}|$
    $=\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n + 2}$
    分子分母同时除以$n$可得：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n + 2}=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}} = 1$
    根据收敛半径的计算公式$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right|}$，可得收敛半径$R = 1$。
  2. 求收敛域：
    由收敛半径$R = 1$，可得幂级数的收敛区间为$(x_0 - R, x_0 + R)$，即$(1 - 1, 1 + 1) = (0, 2)$，幂级数在该区间内绝对收敛。
    接下来需要判断幂级数在区间端点$x = 0$和$x = 2$处的敛散性：
    • 当$x = 0$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac{(0 - 1)^n}{n + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1}$。
      因为$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1}$与调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}}$类似，且$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1}=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} - 1$，调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散，所以$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1}$发散。
    • 当$x = 2$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac{(2 - 1)^n}{n + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n + 1}$。
      这是一个交错级数，设$u_n = \frac{1}{n + 1}$，则$u_{n + 1} = \frac{1}{n + 2}$。
    • 首先$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$。
    • 其次$u_{n + 1} - u_n = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1} = \frac{(n + 1) - (n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{-1}{(n + 1)(n + 2)} < 0$，即$u_{n + 1} < u_n$。
      根据莱布尼茨判别法，交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n u_n$（$u_n>0$）满足$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$且$u_{n + 1} \leq u_n$（$n = 1, 2, ...)）时收敛，所以\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n + 1}$收敛。

综上，幂级数的收敛半径为$R = 1$，收敛域为$(0, 2]$。