题目
在平面直角坐标系xOy中，点P(2,-3)在二次函数y=ax^2+bx-3(a gt 0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.(1)求m的值；(2)若点Q(m,-4)在y=ax^2+bx-3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0leqslant xleqslant 4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设y=ax^2+bx-3的图象与x轴交点为(x_(1)，0)，(x_(2)，0)(x_(1) lt x_(2)).若4 lt x_(2)-x_(1) lt 6，求a的取值范围.
在平面直角坐标系$xOy$中，点$P\left(2,-3\right)$在二次函数$y=ax^{2}+bx-3\left(a \gt 0\right)$的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线$x=m$.
$(1)$求$m$的值；
$(2)$若点$Q\left(m,-4\right)$在$y=ax^{2}+bx-3$的图象上，将该二次函数的图象向上平移$5$个单位长度，得到新的二次函数的图象.当$0\leqslant x\leqslant 4$时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
$(3)$设$y=ax^{2}+bx-3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1}$，$0)$，$(x_{2}$，$0)(x_{1} \lt x_{2})$.若$4 \lt x_{2}-x_{1} \lt 6$，求$a$的取值范围.
$(1)$求$m$的值；
$(2)$若点$Q\left(m,-4\right)$在$y=ax^{2}+bx-3$的图象上，将该二次函数的图象向上平移$5$个单位长度，得到新的二次函数的图象.当$0\leqslant x\leqslant 4$时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
$(3)$设$y=ax^{2}+bx-3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1}$，$0)$，$(x_{2}$，$0)(x_{1} \lt x_{2})$.若$4 \lt x_{2}-x_{1} \lt 6$，求$a$的取值范围.
题目解答
答案
$\left(1\right)\because $点$P\left(2,-3\right)$在二次函数$y=ax^{2}+bx-3\left(a \gt 0\right)$的图象上，
$\therefore 4a+2b-3=-3$，
解得：$b=-2a$，
$\therefore $抛物线为：$y=ax^{2}-2ax-3$，
$\therefore $抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，
$\therefore m=1$；
$(2)\because $点$Q\left(1,-4\right)$在$y=ax^{2}-2ax-3$的图象上，
$\therefore a-2a-3=-4$，
解得：$a=1$，
$\therefore $抛物线为$y=x^{2}-2x-3=\left(x-1\right)^{2}-4$，
将该二次函数的图象向上平移$5$个单位长度，得到新的二次函数为：
$y=\left(x-1\right)^{2}-4+5=\left(x-1\right)^{2}+1$，
$\because 0\leqslant x\leqslant 4$，
$\therefore $当$x=1$时，函数有最小值为$1$，
当$x=4$时，函数有最大值为$\left(4-1\right)^{2}+1=10$
$\therefore $新的二次函数的最大值与最小值的和为$11$；
$(3)\because y=ax^{2}-2ax-3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1}$，$0)$，$(x_{2}$，$0)(x_{1} \lt x_{2})$.
$\therefore x_{1}+x_{2}=2$，${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{3}{a}$，
$\because {x}_{2}-{x}_{1}=\sqrt{{({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
$\therefore {x}_{2}-{x}_{1}=\sqrt{4+\frac{12}{a}}=2\sqrt{1+\frac{3}{a}}$，
$\because 4 \lt x_{2}-x_{1} \lt 6$，
$\therefore 4＜2\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜6$即$2＜\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜3$，
解得：$\frac{3}{8}＜a＜1$.
$\therefore 4a+2b-3=-3$，
解得：$b=-2a$，
$\therefore $抛物线为：$y=ax^{2}-2ax-3$，
$\therefore $抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，
$\therefore m=1$；
$(2)\because $点$Q\left(1,-4\right)$在$y=ax^{2}-2ax-3$的图象上，
$\therefore a-2a-3=-4$，
解得：$a=1$，
$\therefore $抛物线为$y=x^{2}-2x-3=\left(x-1\right)^{2}-4$，
将该二次函数的图象向上平移$5$个单位长度，得到新的二次函数为：
$y=\left(x-1\right)^{2}-4+5=\left(x-1\right)^{2}+1$，
$\because 0\leqslant x\leqslant 4$，
$\therefore $当$x=1$时，函数有最小值为$1$，
当$x=4$时，函数有最大值为$\left(4-1\right)^{2}+1=10$
$\therefore $新的二次函数的最大值与最小值的和为$11$；
$(3)\because y=ax^{2}-2ax-3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1}$，$0)$，$(x_{2}$，$0)(x_{1} \lt x_{2})$.
$\therefore x_{1}+x_{2}=2$，${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{3}{a}$，
$\because {x}_{2}-{x}_{1}=\sqrt{{({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
$\therefore {x}_{2}-{x}_{1}=\sqrt{4+\frac{12}{a}}=2\sqrt{1+\frac{3}{a}}$，
$\because 4 \lt x_{2}-x_{1} \lt 6$，
$\therefore 4＜2\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜6$即$2＜\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜3$，
解得：$\frac{3}{8}＜a＜1$.
解析
步骤 1：求$m$的值
由于点$P\left(2,-3\right)$在二次函数$y=ax^{2}+bx-3\left(a \gt 0\right)$的图象上，代入点$P$的坐标，得到方程$4a+2b-3=-3$，解得$b=-2a$。因此，二次函数可以表示为$y=ax^{2}-2ax-3$。根据二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$，得到$x=m=1$。
步骤 2：求新的二次函数的最大值与最小值的和
由于点$Q\left(1,-4\right)$在$y=ax^{2}-2ax-3$的图象上，代入点$Q$的坐标，得到方程$a-2a-3=-4$，解得$a=1$。因此，二次函数可以表示为$y=x^{2}-2x-3$。将该二次函数的图象向上平移$5$个单位长度，得到新的二次函数为$y=(x-1)^{2}+1$。当$0\leqslant x\leqslant 4$时，函数在$x=1$时取得最小值$1$，在$x=4$时取得最大值$10$。因此，新的二次函数的最大值与最小值的和为$11$。
步骤 3：求$a$的取值范围
由于$y=ax^{2}-2ax-3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1}$，$0)$，$(x_{2}$，$0)(x_{1} \lt x_{2})$，根据韦达定理，$x_{1}+x_{2}=2$，${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{3}{a}$。根据$x_{2}-x_{1}=\sqrt{{({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，得到${x}_{2}-{x}_{1}=2\sqrt{1+\frac{3}{a}}$。由于$4 \lt x_{2}-x_{1} \lt 6$，得到$4＜2\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜6$，解得$\frac{3}{8}＜a＜1$。
由于点$P\left(2,-3\right)$在二次函数$y=ax^{2}+bx-3\left(a \gt 0\right)$的图象上，代入点$P$的坐标，得到方程$4a+2b-3=-3$，解得$b=-2a$。因此，二次函数可以表示为$y=ax^{2}-2ax-3$。根据二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$，得到$x=m=1$。
步骤 2：求新的二次函数的最大值与最小值的和
由于点$Q\left(1,-4\right)$在$y=ax^{2}-2ax-3$的图象上，代入点$Q$的坐标，得到方程$a-2a-3=-4$，解得$a=1$。因此，二次函数可以表示为$y=x^{2}-2x-3$。将该二次函数的图象向上平移$5$个单位长度，得到新的二次函数为$y=(x-1)^{2}+1$。当$0\leqslant x\leqslant 4$时，函数在$x=1$时取得最小值$1$，在$x=4$时取得最大值$10$。因此，新的二次函数的最大值与最小值的和为$11$。
步骤 3：求$a$的取值范围
由于$y=ax^{2}-2ax-3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1}$，$0)$，$(x_{2}$，$0)(x_{1} \lt x_{2})$，根据韦达定理，$x_{1}+x_{2}=2$，${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{3}{a}$。根据$x_{2}-x_{1}=\sqrt{{({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，得到${x}_{2}-{x}_{1}=2\sqrt{1+\frac{3}{a}}$。由于$4 \lt x_{2}-x_{1} \lt 6$，得到$4＜2\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜6$，解得$\frac{3}{8}＜a＜1$。