题目
(2)(dy)/(dx)+(y)/(x)=(sin x)/(x),y|_(x=pi)=1;
(2)$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},y|_{x=\pi}=1;$
题目解答
答案
将微分方程 $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x}$ 两边乘以积分因子 $e^{\int \frac{1}{x}dx} = x$，得：
\[
x \frac{dy}{dx} + y = \sin x \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx}(xy) = \sin x
\]
积分得：
\[
xy = -\cos x + C \quad \Rightarrow \quad y = \frac{-\cos x + C}{x}
\]
由初始条件 $y|_{x=\pi} = 1$，解得 $C = \pi - 1$。因此，特解为：
\[
\boxed{y = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x}}
\]
解析
步骤 1：确定积分因子
微分方程 $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x}$ 是一阶线性微分方程。为了求解它，我们首先需要找到积分因子。积分因子是 $e^{\int P(x)dx}$，其中 $P(x)$ 是方程中 $y$ 的系数。在这个问题中，$P(x) = \frac{1}{x}$，所以积分因子是 $e^{\int \frac{1}{x}dx} = e^{\ln|x|} = x$。
步骤 2：应用积分因子
将积分因子 $x$ 乘以微分方程的两边，得到：
\[ x \frac{dy}{dx} + y = \sin x \]
这可以写成：
\[ \frac{d}{dx}(xy) = \sin x \]
步骤 3：积分
对等式两边积分，得到：
\[ xy = -\cos x + C \]
其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：求解 $y$
将上式两边除以 $x$，得到：
\[ y = \frac{-\cos x + C}{x} \]
步骤 5：应用初始条件
根据初始条件 $y|_{x=\pi} = 1$，代入 $x = \pi$ 和 $y = 1$，得到：
\[ 1 = \frac{-\cos \pi + C}{\pi} \]
\[ 1 = \frac{1 + C}{\pi} \]
解得 $C = \pi - 1$。
步骤 6：写出特解
将 $C = \pi - 1$ 代入 $y$ 的表达式，得到特解：
\[ y = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x} \]
微分方程 $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x}$ 是一阶线性微分方程。为了求解它，我们首先需要找到积分因子。积分因子是 $e^{\int P(x)dx}$，其中 $P(x)$ 是方程中 $y$ 的系数。在这个问题中，$P(x) = \frac{1}{x}$，所以积分因子是 $e^{\int \frac{1}{x}dx} = e^{\ln|x|} = x$。
步骤 2：应用积分因子
将积分因子 $x$ 乘以微分方程的两边，得到：
\[ x \frac{dy}{dx} + y = \sin x \]
这可以写成：
\[ \frac{d}{dx}(xy) = \sin x \]
步骤 3：积分
对等式两边积分，得到：
\[ xy = -\cos x + C \]
其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：求解 $y$
将上式两边除以 $x$，得到：
\[ y = \frac{-\cos x + C}{x} \]
步骤 5：应用初始条件
根据初始条件 $y|_{x=\pi} = 1$，代入 $x = \pi$ 和 $y = 1$，得到：
\[ 1 = \frac{-\cos \pi + C}{\pi} \]
\[ 1 = \frac{1 + C}{\pi} \]
解得 $C = \pi - 1$。
步骤 6：写出特解
将 $C = \pi - 1$ 代入 $y$ 的表达式，得到特解：
\[ y = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x} \]