题目
x,dfrac {1)(2)leqslant xlt 1,
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定傅里叶级数的周期性
由于 $S(x)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶级数，且 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上定义，因此 $S(x)$ 的周期为 $2$。这意味着 $S(x+2) = S(x)$ 对所有 $x$ 成立。
步骤 2：计算 $S(\frac{7}{2})$
由于 $S(x)$ 的周期为 $2$，我们有 $S(\frac{7}{2}) = S(\frac{7}{2} - 2) = S(\frac{3}{2})$。进一步地，$S(\frac{3}{2}) = S(\frac{3}{2} - 2) = S(-\frac{1}{2})$。由于 $S(x)$ 是正弦级数，它在 $x = -\frac{1}{2}$ 处的值等于 $f(-\frac{1}{2})$ 的值。由于 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上的定义是 $f(x) = -x$，因此 $f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
步骤 3：确定 $S(\frac{7}{2})$ 的值
根据上述分析，$S(\frac{7}{2}) = S(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
由于 $S(x)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶级数，且 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上定义，因此 $S(x)$ 的周期为 $2$。这意味着 $S(x+2) = S(x)$ 对所有 $x$ 成立。
步骤 2：计算 $S(\frac{7}{2})$
由于 $S(x)$ 的周期为 $2$，我们有 $S(\frac{7}{2}) = S(\frac{7}{2} - 2) = S(\frac{3}{2})$。进一步地，$S(\frac{3}{2}) = S(\frac{3}{2} - 2) = S(-\frac{1}{2})$。由于 $S(x)$ 是正弦级数，它在 $x = -\frac{1}{2}$ 处的值等于 $f(-\frac{1}{2})$ 的值。由于 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上的定义是 $f(x) = -x$，因此 $f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
步骤 3：确定 $S(\frac{7}{2})$ 的值
根据上述分析，$S(\frac{7}{2}) = S(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。