例 10-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v 0进入强度按 =Acos kt 变化的均匀-|||-电场中,初速度方向与电场强度垂直,如图 10-3 所示。质点在电场中受力 F=-eE 作用。-|||-已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。

考查要点：本题主要考查变电场中带电粒子的运动分析，涉及运动方程的建立、微分方程的求解以及轨迹方程的推导。

解题核心思路：

1. 坐标系设定：初速度方向（x轴）与电场方向（y轴）垂直，分解运动。
2. 受力分析：电场力仅在y轴方向，x轴方向无外力，速度保持初值。
3. 微分方程求解：对y轴方向的加速度积分两次，结合初始条件求出速度和位移。
4. 轨迹方程推导：通过消去时间参数，将x和y的关系式联立。

破题关键点：

• 明确受力方向：电场力始终沿y轴，导致y方向有加速度。
• 积分常数处理：利用初始条件（t=0时速度和位置）确定积分常数。
• 参数消元法：利用x与t的关系表达时间，代入y的表达式消去t。

坐标系与受力分析

• 初速度$v_0$沿x轴方向，电场强度$E=A\cos kt$沿y轴方向。
• x轴方向：无外力作用，速度保持$v_x = v_0$。
• y轴方向：受力$F = -eE = -eA\cos kt$，加速度为$a_y = -\frac{eA}{m}\cos kt$。

运动方程求解

x轴方向

$\frac{d^2x}{dt^2} = 0 \implies \frac{dx}{dt} = v_0 \implies x = v_0 t.$

y轴方向

1. 速度积分：
   $\frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{eA}{m}\cos kt \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{eA}{mk}\sin kt + C.$
   初始条件$t=0$时$v_y=0$，得$C=0$，故：
   $v_y = -\frac{eA}{mk}\sin kt.$

2. 位移积分：
   $y = -\frac{eA}{mk}\int \sin kt \, dt = \frac{eA}{mk^2}(\cos kt - 1).$

轨迹方程推导

由$x = v_0 t$得$t = \frac{x}{v_0}$，代入$y$的表达式：
$y = \frac{eA}{mk^2}\left[\cos\left(\frac{kx}{v_0}\right) - 1\right].$