5.求下列二重极限:-|||-(1) lim _((x,y)arrow (0,0)cos x-sin y)-|||-(3) lim _((xarrow y))dfrac (sin (xy))(x) =-|||-(2) lim _((x,0))(dfrac ({x)^2(y)^3/2}({x)^4+(y)^2}-|||-(4) lim _((x,y)arrow (0,0))(x)^2(y)^2ln ((x)^2+(y)^2) -

考查要点：本题主要考查二重极限的计算方法，涉及直接代入法、路径法、不等式放缩法以及变量替换法。

解题思路：

1. 直接代入法：若函数在极限点处连续，则可直接代入求值。
2. 路径法：若沿不同路径趋近于极限点时结果不同，则极限不存在；若所有路径结果相同，则极限可能存在。
3. 不等式放缩法：利用不等式（如均值不等式、绝对值不等式）将复杂表达式转化为易求极限的形式。
4. 变量替换法：通过极坐标替换简化表达式，判断极限是否存在。

(1) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)} \cos x - \sin y$

关键点：$\cos x$ 和 $\sin y$ 在 $(0,0)$ 处连续，可直接代入计算。

直接代入法

当 $(x,y) \rightarrow (0,0)$ 时：

• $\cos x \rightarrow \cos 0 = 1$
• $\sin y \rightarrow \sin 0 = 0$

因此，$\cos x - \sin y \rightarrow 1 - 0 = 1$。
答案应为 $1$，但题目答案为 $2$，可能存在题目或答案错误。

(2) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)} \dfrac{x^{2} y^{3/2}}{x^{4} + y^{2}}$

关键点：利用绝对值放缩和夹逼定理。

分子分母分析

• 分子 $|x^2 y^{3/2}| \leq x^4 + y^2$（均值不等式）
• 分母 $x^4 + y^2 > 0$

夹逼定理

$0 \leq \left| \dfrac{x^{2} y^{3/2}}{x^{4} + y^{2}} \right| \leq \dfrac{x^4 + y^2}{x^4 + y^2} = 1$
当 $(x,y) \rightarrow (0,0)$ 时，表达式夹逼为 $0$。

(3) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)} \dfrac{\sin (xy)}{x}$

关键点：化简表达式后利用路径法验证。

化简表达式

$\dfrac{\sin (xy)}{x} = y \cdot \dfrac{\sin (xy)}{xy} \cdot y$
当 $xy \rightarrow 0$ 时，$\dfrac{\sin (xy)}{xy} \rightarrow 1$，因此表达式趋近于 $y^2$。

路径法验证

沿任意路径 $(x,y) \rightarrow (0,0)$，$y^2 \rightarrow 0$，故极限为 $0$。
答案应为 $0$，但题目答案为 $2$，可能存在题目或答案错误。

(4) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)} x^{2} y^{2} \ln (x^{2} + y^{2})$

关键点：极坐标替换和夹逼定理。

极坐标替换

令 $x^2 + y^2 = r^2$，则 $x^2 y^2 \leq \dfrac{(x^2 + y^2)^2}{4} = \dfrac{r^4}{4}$，且 $\ln r^2 = 2 \ln r$。

夹逼定理

$|x^2 y^2 \ln (x^2 + y^2)| \leq \dfrac{r^4}{4} \cdot |2 \ln r| = \dfrac{r^4 |\ln r|}{2}$
当 $r \rightarrow 0^+$ 时，$r^4 |\ln r| \rightarrow 0$，故极限为 $0$。