10、单选-|||-极限 lim _(xarrow 0)[ dfrac ((1+x)ln (1+x))({sin )^2x}-dfrac (1)(sin x)] = () ,(单选题)-|||-(3分)-|||-A-|||-dfrac (1)(6)-|||-B dfrac (1)(2)-|||-C -dfrac (1)(3)-|||--dfrac (1){}

本题考查洛必达法则的应用，核心思路是将原式转化为0/0型不定式后多次使用洛必达法则，或利用泰勒展开简化计算。关键在于：

1. 合并分式，将原式转化为统一的分式形式；
2. 识别不定式类型，判断是否适用洛必达法则；
3. 多次求导或展开高阶项，逐步化简极限表达式。

步骤1：合并分式

原式可变形为：
$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{(1+x)\ln(1+x)}{\sin^2 x} - \frac{1}{\sin x} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\ln(1+x) - \sin x}{\sin^2 x}$

步骤2：应用洛必达法则

当$x \to 0$时，分子$(1+x)\ln(1+x) - \sin x \to 0$，分母$\sin^2 x \to 0$，属于0/0型不定式。对分子分母分别求导：

• 分子导数：$\ln(1+x) + 1 - \cos x$
• 分母导数：$2 \sin x \cos x$

极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) + 1 - \cos x}{2 \sin x \cos x}$

步骤3：再次应用洛必达法则

此时分子$\ln(1+x) + 1 - \cos x \to 0$，分母$2 \sin x \cos x \to 0$，仍为0/0型。继续求导：

• 分子导数：$\frac{1}{1+x} + \sin x$
• 分母导数：$2(\cos^2 x - \sin^2 x)$

极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} + \sin x}{2(\cos^2 x - \sin^2 x)} = \frac{1 + 0}{2(1 - 0)} = \frac{1}{2}$