题目

15. (12.0分) 已知系统微分方程和初始条件为： y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+4f(t) y(0_(-))=1, y'(0_(-))=1； 则系统的零输入响应为（_ e^-t +_ e^-2t）ε(t)，系统的冲激响应为（_ e^-t +_ e^-2t）ε(t)。

15. (12.0分) 已知系统微分方程和初始条件为： $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+4f(t)$ $y(0_{-})=1$, $y'(0_{-})=1$； 则系统的零输入响应为（_ $e^{-t}$ +_ $e^{-2t}$）ε(t)，系统的冲激响应为（_ $e^{-t}$ +_ $e^{-2t}$）ε(t)。

题目解答

答案

为了解决给定的微分方程并找到零输入响应和冲激响应，我们将遵循以下步骤： 1. **找到零输入响应：** 零输入响应是当输入 $ f(t) = 0 $ 时微分方程的解。微分方程变为： \[ y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 0 \] 该微分方程的特征方程为： \[ r^2 + 3r + 2 = 0 \] 对特征方程进行因式分解，我们得到： \[ (r + 1)(r + 2) = 0 \] 因此，根为 $ r = -1 $ 和 $ r = -2 $。零输入响应的一般解为： \[ y_{zi}(t) = A e^{-t} + B e^{-2t} \] 我们使用初始条件 $ y(0_-) = 1 $ 和 $ y'(0_-) = 1 $ 来找到常数 $ A $ 和 $ B $。将 $ t = 0 $ 代入一般解，我们得到： \[ y(0_-) = A + B = 1 \] 对一般解求导，我们得到： \[ y'_{zi}(t) = -A e^{-t} - 2B e^{-2t} \] 将 $ t = 0 $ 代入导数，我们得到： \[ y'(0_-) = -A - 2B = 1 \] 现在我们有一个线性方程组： \[ \begin{cases} A + B = 1 \\ -A - 2B = 1 \end{cases} \] 将两个方程相加，我们得到： \[ -B = 2 \implies B = -2 \] 将 $ B = -3 $ 代回第一个方程，我们得到： \[ A - 2 = 1 \implies A = 3 \] 因此，零输入响应为： \[ y_{zi}(t) = 3 e^{-t} - 2 e^{-2t} \] 2. **找到冲激响应：** 冲激响应是当输入 $ f(t) = \delta(t) $ 时微分方程的解。微分方程变为： \[ y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = \delta'(t) + 4\delta(t) \] 冲激响应 $ h(t) $ 的拉普拉斯变换为： \[ H(s) = \frac{s + 4}{s^2 + 3s + 2} \] 对分母进行因式分解，我们得到： \[ H(s) = \frac{s + 4}{(s + 1)(s + 2)} \] 我们使用部分分式分解来将 $ H(s) $ 表达为： \[ H(s) = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2} \] 通过 $ (s + 1)(s + 2) $ 乘以两边，我们得到： \[ s + 4 = A(s + 2) + B(s + 1) \] 使 $ s $ 的系数和常数项相等，我们得到： \[ \begin{cases} A + B = 1 \\ 2A + B = 4 \end{cases} \] 从第二个方程中减去第一个方程，我们得到： \[ A = 3 \] 将 $ A = 3 $ 代回第一个方程，我们得到： \[ 3 + B = 1 \implies B = -2 \] 因此， $ H(s) $ 为： \[ H(s) = \frac{3}{s + 1} - \frac{2}{s + 2} \] 对 $ H(s) $ 取逆拉普拉斯变换，我们得到冲激响应： \[ h(t) = 3 e^{-t} - 2 e^{-2t} \] 因此，零输入响应为 $ (3 e^{-t} - 2 e^{-2t}) \epsilon(t) $ 且冲激响应为 $ (3 e^{-t} - 2 e^{-2t}) \epsilon(t) $。 最终答案为： \[ \boxed{(3 e^{-t} - 2 e^{-2t}) \epsilon(t), (3 e^{-t} - 2 e^{-2t}) \epsilon(t)} \]

解析

本题主要考察系统的零输入响应和冲激响应的求解，涉及微分方程特征根分析、初始条件应用及拉普拉斯变换相关知识。

一、零输入响应求解

零输入响应是输入$f(t)=0$时的解，对应齐次微分方程：
$y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 0$

步骤1：求特征根

特征方程为：
$r^2 + 3r + 2 = 0$
因式分解得$(r+1)(r+2)=0$，根为$r_1=-1$、$r_2=-2$，故通解为：
$y_{zi}(t) = A e^{-t} + B e^{-2t}$

步骤2：用初始条件定系数

已知$y(0_-) = 1$、$y'(0_-) = 1$：

  • 代入$t=0$：$A + B = 1$
  • 求导得$y'_{zi}(t) = -A e^{-t} - 2B e^{-2t}$，代入$t=0$：$-A - 2B = 1$

联立方程组：
$\begin{cases}A + B = 1 \\-A - 2B = 1\end{cases}$
解得$B=-2$、$A=3$，故零输入响应为：
$y_{zi}(t) = 3e^{-t} - 2e^{-2t}$

二、冲激响应求解

冲激响应是输入$f(t)=\delta(t)$时的解，利用拉普拉斯变换简化计算：

步骤1：求系统函数$H(s)$

微分方程两边取拉普拉斯变换（零初始条件）：
$s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = sF(s) + 4F(s)$
整理得：
$H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{s + 4}{s^2 + 3s + 2}$

步骤2：部分分式分解

分母因式分解为$(s+1)(s+2)$，设：
$H(s) = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$
通分后对比系数：
$s + 4 = A(s+2) + B(s+1)$
令$s=-1$得$A=3$，令$s=-2$得$B=-2$，故：
$H(s) = \frac{3}{s+1} - \frac{2}{s+2}$

步骤3：逆拉普拉斯变换

得冲激响应：
$h(t) = 3e^{-t} - 2e^{-2t}$