题目
3.一直线L过点A(1,2,1),与直线 dfrac (x)(2)=dfrac (y)(1)=dfrac (z)(-1) 相交,且垂直于直线 dfrac (x-1)(3)=dfrac (y)(2)=-|||-.dfrac (z+1)(1) ,求直线L的方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线L的方向向量
直线L过点A(1,2,1)，且垂直于直线 $\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z+1}{1}$，因此直线L的方向向量与直线 $\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z+1}{1}$ 的方向向量垂直。直线 $\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z+1}{1}$ 的方向向量为(3,2,1)。设直线L的方向向量为(a,b,c)，则有3a+2b+c=0。
步骤 2：确定直线L与直线 $\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$ 的交点
直线 $\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$ 的方向向量为(2,1,-1)。设直线L与直线 $\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$ 的交点为B(x,y,z)，则有$\dfrac {x-1}{a}=\dfrac {y-2}{b}=\dfrac {z-1}{c}=\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$。解得B(-$\dfrac {16}{7}$,$\dfrac {8}{7}$,-$\dfrac {8}{7}$)。
步骤 3：确定直线L的方程
直线L过点A(1,2,1)和点B(-$\dfrac {16}{7}$,$\dfrac {8}{7}$,-$\dfrac {8}{7}$)，因此直线L的方程为$\dfrac {x-1}{-\dfrac {16}{7}-1}=\dfrac {y-2}{\dfrac {8}{7}-2}=\dfrac {z-1}{-\dfrac {8}{7}-1}$，即$\dfrac {x-1}{-3}=\dfrac {y-2}{2}=\dfrac {z-1}{5}$。
直线L过点A(1,2,1)，且垂直于直线 $\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z+1}{1}$，因此直线L的方向向量与直线 $\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z+1}{1}$ 的方向向量垂直。直线 $\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z+1}{1}$ 的方向向量为(3,2,1)。设直线L的方向向量为(a,b,c)，则有3a+2b+c=0。
步骤 2：确定直线L与直线 $\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$ 的交点
直线 $\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$ 的方向向量为(2,1,-1)。设直线L与直线 $\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$ 的交点为B(x,y,z)，则有$\dfrac {x-1}{a}=\dfrac {y-2}{b}=\dfrac {z-1}{c}=\dfrac {x}{2}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z}{-1}$。解得B(-$\dfrac {16}{7}$,$\dfrac {8}{7}$,-$\dfrac {8}{7}$)。
步骤 3：确定直线L的方程
直线L过点A(1,2,1)和点B(-$\dfrac {16}{7}$,$\dfrac {8}{7}$,-$\dfrac {8}{7}$)，因此直线L的方程为$\dfrac {x-1}{-\dfrac {16}{7}-1}=\dfrac {y-2}{\dfrac {8}{7}-2}=\dfrac {z-1}{-\dfrac {8}{7}-1}$，即$\dfrac {x-1}{-3}=\dfrac {y-2}{2}=\dfrac {z-1}{5}$。