3.设 (x)=|x-(x)^3|(x)^2 ,则使得f(x)在 x=0 处存在最高阶导数的阶数 n= () .-|||-(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的高阶导数存在性问题，需要结合绝对值函数的展开、导数的定义及左右导数的计算。

解题核心思路：

1. 拆分绝对值函数：将原函数$f(x)=|x-x^3|x^2$在$x=0$附近分为左右两段，分别写出表达式。
2. 逐阶求导：通过导数的定义，逐阶计算$f(x)$在$x=0$处的一阶、二阶、三阶导数，判断是否存在。
3. 左右极限对比：在计算高阶导数时，需分别计算左右导数的极限，若不相等则该阶导数不存在。

破题关键点：

• 分段处理：正确拆分绝对值函数为分段函数。
• 导数定义应用：利用导数的定义计算各阶导数在$x=0$处的值。
• 极限存在性判断：通过左右极限是否相等，确定导数是否存在。

步骤1：拆分绝对值函数

当$x \in (-1,0)$时，$x-x^3 < 0$，故$f(x)=-(x-x^3)x^2 = x^5 - x^3$；
当$x \in [0,1)$时，$x-x^3 \geq 0$，故$f(x)=(x-x^3)x^2 = x^3 - x^5$。
因此，函数可表示为：
$f(x) = \begin{cases} x^5 - x^3, & -1 < x < 0, \\x^3 - x^5, & 0 \leq x < 1.\end{cases}$

步骤2：计算一阶导数$f'(0)$

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}.$

• 当$x \to 0^+$：$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^3 - x^5}{x} = x^2 - x^4 \to 0$；
• 当$x \to 0^-$：$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^5 - x^3}{x} = x^4 - x^2 \to 0$。
  因此，$f'(0) = 0$。

步骤3：计算二阶导数$f''(0)$

根据导数定义：
$f''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x}.$

• 当$x > 0$时，$f'(x) = 3x^2 - 5x^4$，则$\frac{f'(x)}{x} = 3x - 5x^3 \to 0$；
• 当$x < 0$时，$f'(x) = 5x^4 - 3x^2$，则$\frac{f'(x)}{x} = 5x^3 - 3x \to 0$。
  因此，$f''(0) = 0$。

步骤4：计算三阶导数$f'''(0)$

根据导数定义：
$f'''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f''(x) - f''(0)}{x}.$

• 当$x > 0$时，$f''(x) = 6x - 20x^3$，则$\frac{f''(x)}{x} = 6 - 20x^2 \to 6$；
• 当$x < 0$时，$f''(x) = 20x^3 - 6x$，则$\frac{f''(x)}{x} = 20x^2 - 6 \to -6$。
  左右极限不相等，故$f'''(0)$不存在。

结论：$f(x)$在$x=0$处最高存在二阶导数，故$n=2$。