已知 Q=} 1 & 2 & 3 2 & 4 & t 3 & 6 & 9 , P 为3阶非零矩阵,且满足 PQ=O,则().A. t=6 时, P 的秩必为1B. t=6 时, P 的秩必为2C. tneq6 时, P 的秩必为1D. tneq6 时, P 的秩必为2

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、齐次线性方程组解的结构以及矩阵乘法的性质。关键在于理解矩阵$P$的存在性与其秩的关系，结合矩阵$Q$的秩进行分析。

解题核心思路：

1. 分析矩阵$Q$的秩：通过行列式或行简化阶梯形判断$Q$的秩随$t$变化的情况。
2. 利用矩阵方程$PQ=O$：说明$P$的行向量属于$Q$的左零空间，从而$P$的秩与$Q$的秩相关。
3. 秩-零化度定理：左零空间的维数为$3 - \text{rank}(Q)$，进而确定$P$的秩的可能取值。

破题关键点：

• 当$t=6$时，$Q$的秩为1，左零空间维数为2，此时$P$的秩可能为1或2。
• 当$t \neq 6$时，$Q$的秩为2，左零空间维数为1，此时$P$的秩必为1。

分析矩阵$Q$的秩

1. 计算行列式：
   $\det(Q) = 1 \cdot (4 \cdot 9 - t \cdot 6) - 2 \cdot (2 \cdot 9 - t \cdot 3) + 3 \cdot (2 \cdot 6 - 4 \cdot 3) = 0$
   无论$t$取何值，$\det(Q)=0$，说明$Q$不可逆，秩小于3。

2. 分情况讨论$t$：

   • 当$t=6$时：
     第二行$[2,4,6]$是第一行的2倍，第三行$[3,6,9]$是第一行的3倍，所有行成比例，故$\text{rank}(Q)=1$。
   • 当$t \neq 6$时：
     第二行与第三行不成比例（例如$t=5$时，第二行$[2,4,5]$与第三行$[3,6,9]$不成比例），且存在非零的2阶子式（如前两列组成的子式$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{vmatrix}=0$，但前两行与后两列组成的子式$\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & t\end{vmatrix}=t-6 \neq 0$），故$\text{rank}(Q)=2$。

分析矩阵$P$的秩

• 当$t=6$时：
  $\text{rank}(Q)=1$，左零空间维数为$3-1=2$，因此$P$的秩可能为1或2（存在非零矩阵$P$满足$PQ=O$）。
• 当$t \neq 6$时：
  $\text{rank}(Q)=2$，左零空间维数为$3-2=1$，因此$P$的秩必为1（所有非零矩阵$P$的行向量均为同一非零向量的倍数）。

选项判断

• 选项C：当$t \neq 6$时，$P$的秩必为1，正确。
• 其余选项均不符合上述分析。