设A和B都是n阶方阵,且A可逆,则下列说法一定正确的是()A. A与B等价B. A与B相似C. AB与BA等价且相似D. AB与BA等价但不一定相似

本题考查矩阵等价与相似的概念及可逆矩阵的性质。关键点在于：

1. 矩阵等价：若存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$，则$A$与$B$等价；
2. 矩阵相似：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = B$，则$A$与$B$相似；
3. 可逆矩阵的作用：当$A$可逆时，$AB$与$BA$可通过初等变换相互转化，但相似性需额外条件。

选项分析

选项A：A与B等价

错误。题目未给出$B$的任何条件（如是否可逆、与$A$的关系），无法保证$A$与$B$等价。

选项B：A与B相似

错误。相似要求严格的特征值等性质，但题目未说明$B$与$A$存在相似关系。

选项C：AB与BA等价且相似

错误。虽然$AB$与$BA$等价，但相似性不一定成立。例如，取$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，此时$AB$与$BA$的特征值不同，不相似。

选项D：AB与BA等价但不一定相似

正确。

1. 等价性：因$A$可逆，存在初等矩阵$P$和$Q$，使得$AB = ABA^{-1}A = Q^{-1}PA$，故$AB \sim BA$；
2. 相似性不必然：通过反例可证，如上述矩阵$A$和$B$，$AB$与$BA$不相似。