题目

4.设f为R上连续函数，常数c>0.记F(x)=}-c,f(x)<-c,f(x),|f(x)|leqslant c,c,f(x)>c.证明F在R上连续.提示：F(x)=max-c,min{c,f(x)}.

4.设f为R上连续函数，常数c>0.记 $F(x)=\begin{cases}-c,f(x)<-c,\\f(x),|f(x)|\leqslant c,\\c,f(x)>c.\end{cases}$ 证明F在R上连续. 提示：$F(x)=\max\{-c,\min\{c,f(x)\}\}.$

题目解答

答案

设 $ f $ 为 $\mathbb{R}$ 上连续函数，$ c > 0 $。定义 $ F(x) $ 如下：

$F(x) = \begin{cases} -c, & f(x) < -c, \\ f(x), & |f(x)| \leq c, \\ c, & f(x) > c. \end{cases}$

由提示，可将 $ F(x) $ 表示为：

$F(x) = \max\{-c, \min\{c, f(x)\}\}.$

由于 $ f(x) $ 连续，且最大值、最小值函数在连续函数下保持连续性，故 $ F(x) $ 连续。
或者，对任意 $ x_0 \in \mathbb{R} $：

  • 当 $ |f(x_0)| < c $ 时，$ F(x_0) = f(x_0) $，由 $ f $ 的连续性得 $ F $ 连续；
  • 当 $ f(x_0) = c $ 或 $ f(x_0) = -c $ 时，利用 $ f $ 的连续性，可证 $ F $ 在 $ x_0 $ 处连续。

结论： $ F(x) $ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

$\boxed{F(x) \text{ 在 } \mathbb{R} \text{ 上连续。}}$

解析

本题考查连续函数的性质以及函数连续性的证明。解题思路是利用提示将函数表示为最大值和最小值函数的组合形式，再根据连续函数的性质证明函数的连续性；或者分情况讨论函数在不同取值点的连续性。

下面进行详细的计算和分析：：

  1. 利用提示证明：
    由提示可知$F(x)=\max\{-c,\min\{c,f(x)\}\}$。
    因为$f(x)$是$\mathbb{R}$上的连续函数，而最大值函数$\max$和最小值函数\(\min在连续函数下保持连续性。 对于$\min\{c,f(x)\}$，由于$f(x)$连续，$c$为常数，所以$\min\{c,f(x)\}$连续；对于$\max\{-c,\min\{c,f(x)\}\}$，同样因为$\min\{c,f(x)\}$连续$-c$为常数，所以$\max\{-c,\min\{c,f(x)\}\}$连续。
    综上，$F(x)$在$\mathbb{R}$上连续。
  2. 分情况讨论证明：
    • 当$\vert f(x)\vert\lt c$时，即$-c\lt f(x)\lt c$时，$F(x)=f(x)$。因为$f(x)$ )在$\mathbb{R}$上连续，所以$F(x)$在$\vert f(x)\vert\lt c$上连续。
    • 当$f(x)=c$时，$\lim\limits_{x \to x_0} F(x)=\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=c$，$F(x_0)=c$，根据连续函数连续性的定义可知$F(x)$在$f(x)=c$处连续。
    • 当$f(x)= -c$时，$\lim\limits_{x \to x_0}F(x)=\lim\limits_{x \to x_0}f(x)}=-c$，$F(x_0)= -c$，根据函数连续性的定义可知$F(x)$在$f(x)= -c$处连续。