题目
5【判断题】因为二元函数f(x,y)=}(xy)/(x^2)+y^(2),(x,y)neq(0,0)0,(x,y)=(0,0)在点(0,0)处的偏导数存在，所以函数f(x,y)在点(0,0)处连续.A. 对B. 错
5【判断题】
因为二元函数$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}$在点(0,0)处的偏导数存在，所以函数f(x,y)在点(0,0)处连续.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：计算偏导数
计算偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$，以确定在点 $(0,0)$ 处偏导数是否存在。
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0 \]
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{0}{\Delta y} = 0 \]
步骤 2：判断连续性
判断函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否连续，即判断 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 是否存在且等于 $f(0,0)$。
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} \]
沿直线 $y = kx$ 趋近，得
\[ \lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{(1+k^2)x^2} = \frac{k}{1+k^2} \]
步骤 3：结论
由于极限值依赖于 $k$，故极限不存在，函数在 $(0,0)$ 处不连续。
计算偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$，以确定在点 $(0,0)$ 处偏导数是否存在。
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0 \]
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{0}{\Delta y} = 0 \]
步骤 2：判断连续性
判断函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否连续，即判断 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 是否存在且等于 $f(0,0)$。
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} \]
沿直线 $y = kx$ 趋近，得
\[ \lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{(1+k^2)x^2} = \frac{k}{1+k^2} \]
步骤 3：结论
由于极限值依赖于 $k$，故极限不存在，函数在 $(0,0)$ 处不连续。