题目
设x是n维单位列向量，令=E-2x(x)^T,证明：H是对称正交矩阵.
设x是n维单位列向量，令
,证明：H是对称正交矩阵.
题目解答
答案
因为
所以H是对称矩阵
因为x是单位列向量，所以
,带入上式，可以得到
，
所以得到H是正交矩阵.
综合上述分析，H是对称正交矩阵.
解析
步骤 1：证明H是对称矩阵
要证明H是对称矩阵，我们需要证明$H^T = H$。首先，我们计算$H^T$。
$$H^T = (E - 2x{x}^{T})^T = E^T - 2(x{x}^{T})^T = E - 2{x}^{T}x^T = E - 2x{x}^{T} = H$$
因为$E^T = E$，$(x{x}^{T})^T = {x}^{T}x^T = x{x}^{T}$，所以$H^T = H$，H是对称矩阵。
步骤 2：证明H是正交矩阵
要证明H是正交矩阵，我们需要证明$H^TH = E$。首先，我们计算$H^TH$。
$$H^TH = (E - 2x{x}^{T})(E - 2x{x}^{T}) = E^2 - 2Ex{x}^{T} - 2x{x}^{T}E + 4x{x}^{T}x{x}^{T}$$
因为$E^2 = E$，$Ex{x}^{T} = x{x}^{T}$，$x{x}^{T}E = x{x}^{T}$，$x{x}^{T}x{x}^{T} = (x^Tx)x{x}^{T} = x{x}^{T}$（因为x是单位列向量，所以$x^Tx = 1$），所以
$$H^TH = E - 2x{x}^{T} - 2x{x}^{T} + 4x{x}^{T} = E$$
因此，H是正交矩阵。
步骤 3：综合上述分析
因为H是对称矩阵且是正交矩阵，所以H是对称正交矩阵。
要证明H是对称矩阵，我们需要证明$H^T = H$。首先，我们计算$H^T$。
$$H^T = (E - 2x{x}^{T})^T = E^T - 2(x{x}^{T})^T = E - 2{x}^{T}x^T = E - 2x{x}^{T} = H$$
因为$E^T = E$，$(x{x}^{T})^T = {x}^{T}x^T = x{x}^{T}$，所以$H^T = H$，H是对称矩阵。
步骤 2：证明H是正交矩阵
要证明H是正交矩阵，我们需要证明$H^TH = E$。首先，我们计算$H^TH$。
$$H^TH = (E - 2x{x}^{T})(E - 2x{x}^{T}) = E^2 - 2Ex{x}^{T} - 2x{x}^{T}E + 4x{x}^{T}x{x}^{T}$$
因为$E^2 = E$，$Ex{x}^{T} = x{x}^{T}$，$x{x}^{T}E = x{x}^{T}$，$x{x}^{T}x{x}^{T} = (x^Tx)x{x}^{T} = x{x}^{T}$（因为x是单位列向量，所以$x^Tx = 1$），所以
$$H^TH = E - 2x{x}^{T} - 2x{x}^{T} + 4x{x}^{T} = E$$
因此，H是正交矩阵。
步骤 3：综合上述分析
因为H是对称矩阵且是正交矩阵，所以H是对称正交矩阵。