dfrac (dy)(dx)=yln dfrac (y)(x);

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，通过变量代换将方程转化为可分离变量的形式，进而求解通解。

解题核心思路：

1. 识别齐次方程结构：方程中出现$\dfrac{y}{x}$，提示令$u = \dfrac{y}{x}$进行代换。
2. 变量分离：通过代换将方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量方程。
3. 积分求解：对分离后的变量分别积分，最终回代得到通解。

破题关键点：

• 正确代换：令$u = \dfrac{y}{x}$，并计算$\dfrac{dy}{dx} = u + x\dfrac{du}{dx}$。
• 分离变量：将方程整理为$\dfrac{du}{u(\ln u - 1)} = \dfrac{dx}{x}$。
• 积分技巧：对左侧积分时，使用代换$v = \ln u$简化计算。

原方程：
$x \dfrac{dy}{dx} = y \ln \dfrac{y}{x}$

步骤1：变量代换
令$u = \dfrac{y}{x}$，则$y = u x$，代入导数公式得：
$\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$

步骤2：代入原方程
将$\dfrac{dy}{dx}$代入原方程：
$x \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) = u x \ln u$
两边除以$x$并整理：
$u + x \dfrac{du}{dx} = u \ln u \quad \Rightarrow \quad x \dfrac{du}{dx} = u (\ln u - 1)$

步骤3：分离变量
将方程改写为：
$\dfrac{du}{u (\ln u - 1)} = \dfrac{dx}{x}$

步骤4：积分求解
对两侧积分：

• 左侧积分：令$v = \ln u$，则$dv = \dfrac{1}{u} du$，得：
  $\int \dfrac{dv}{v - 1} = \ln |v - 1| + C = \ln |\ln u - 1| + C$
• 右侧积分：
  $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

步骤5：整理结果
联立积分结果：
$\ln |\ln u - 1| = \ln |x| + C$
去对数得：
$|\ln u - 1| = C |x| \quad \Rightarrow \quad \ln u - 1 = C x$
解得：
$u = e^{C x + 1}$

步骤6：回代求$y$
由$u = \dfrac{y}{x}$，得通解：
$y = x e^{C x + 1}$