题目
22单选(4分)-|||-设S是曲线L: -|||-B. +y+z=dfrac {1)(2)-|||-C. x+y+z=2-|||-D. x+y+z=3
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转面的方程
曲线L绕z轴旋转形成的旋转面S的方程为$z=-x^2-y^2+1$。这是因为旋转面的方程可以通过将曲线方程中的$x$替换为$\sqrt{x^2+y^2}$来得到，但在这个特定情况下，由于曲线L的方程中$y=0$，所以旋转面的方程直接由曲线方程给出。
步骤 2：确定切平面的法向量
切平面的法向量可以通过计算旋转面方程$z=-x^2-y^2+1$的梯度得到。梯度为$\nabla F(x,y,z) = (-2x, -2y, 1)$。由于切平面与平面$x+y+z=1$平行，所以切平面的法向量与平面$x+y+z=1$的法向量$(1,1,1)$平行。因此，我们有$(-2x, -2y, 1) = k(1,1,1)$，其中$k$是比例常数。由此可以得到$x=y=-\frac{1}{2k}$。
步骤 3：确定切点坐标
由于$x=y=-\frac{1}{2k}$，代入旋转面方程$z=-x^2-y^2+1$，得到$z=-(-\frac{1}{2k})^2-(-\frac{1}{2k})^2+1=1-\frac{1}{2k^2}$。因此，切点坐标为$(-\frac{1}{2k}, -\frac{1}{2k}, 1-\frac{1}{2k^2})$。
步骤 4：确定切平面方程
切平面方程为$-2x(x-x_0)-2y(y-y_0)+(z-z_0)=0$，其中$(x_0, y_0, z_0)$是切点坐标。代入切点坐标$(-\frac{1}{2k}, -\frac{1}{2k}, 1-\frac{1}{2k^2})$，得到$-2x(x+\frac{1}{2k})-2y(y+\frac{1}{2k})+(z-1+\frac{1}{2k^2})=0$。由于切平面与平面$x+y+z=1$平行，所以切平面方程可以写为$x+y+z=c$，其中$c$是常数。将切点坐标代入，得到$c=1-\frac{1}{2k^2}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}=1-\frac{1}{2k^2}+\frac{1}{k}$。由于$k$是比例常数，所以$c$的值取决于$k$的值。但是，由于切平面与平面$x+y+z=1$平行，所以$c$的值应该等于1。因此，我们有$1-\frac{1}{2k^2}+\frac{1}{k}=1$，解得$k=\frac{1}{2}$。因此，切平面方程为$x+y+z=\frac{3}{2}$。
曲线L绕z轴旋转形成的旋转面S的方程为$z=-x^2-y^2+1$。这是因为旋转面的方程可以通过将曲线方程中的$x$替换为$\sqrt{x^2+y^2}$来得到，但在这个特定情况下，由于曲线L的方程中$y=0$，所以旋转面的方程直接由曲线方程给出。
步骤 2：确定切平面的法向量
切平面的法向量可以通过计算旋转面方程$z=-x^2-y^2+1$的梯度得到。梯度为$\nabla F(x,y,z) = (-2x, -2y, 1)$。由于切平面与平面$x+y+z=1$平行，所以切平面的法向量与平面$x+y+z=1$的法向量$(1,1,1)$平行。因此，我们有$(-2x, -2y, 1) = k(1,1,1)$，其中$k$是比例常数。由此可以得到$x=y=-\frac{1}{2k}$。
步骤 3：确定切点坐标
由于$x=y=-\frac{1}{2k}$，代入旋转面方程$z=-x^2-y^2+1$，得到$z=-(-\frac{1}{2k})^2-(-\frac{1}{2k})^2+1=1-\frac{1}{2k^2}$。因此，切点坐标为$(-\frac{1}{2k}, -\frac{1}{2k}, 1-\frac{1}{2k^2})$。
步骤 4：确定切平面方程
切平面方程为$-2x(x-x_0)-2y(y-y_0)+(z-z_0)=0$，其中$(x_0, y_0, z_0)$是切点坐标。代入切点坐标$(-\frac{1}{2k}, -\frac{1}{2k}, 1-\frac{1}{2k^2})$，得到$-2x(x+\frac{1}{2k})-2y(y+\frac{1}{2k})+(z-1+\frac{1}{2k^2})=0$。由于切平面与平面$x+y+z=1$平行，所以切平面方程可以写为$x+y+z=c$，其中$c$是常数。将切点坐标代入，得到$c=1-\frac{1}{2k^2}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}=1-\frac{1}{2k^2}+\frac{1}{k}$。由于$k$是比例常数，所以$c$的值取决于$k$的值。但是，由于切平面与平面$x+y+z=1$平行，所以$c$的值应该等于1。因此，我们有$1-\frac{1}{2k^2}+\frac{1}{k}=1$，解得$k=\frac{1}{2}$。因此，切平面方程为$x+y+z=\frac{3}{2}$。