(xy-x)y′′+xy′2+yy′-2y′=0, y=ln(xy).

考查要点：本题主要考查隐函数求导及微分方程解的验证方法。需要将给定的隐函数关系式代入微分方程，通过求导和代数运算验证等式成立。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：从等式$y = \ln(xy)$出发，对$x$求导得到$y'$，再对$y'$求导得到$y''$。
2. 代入微分方程：将求得的$y'$和$y''$代入原方程$(xy - x)y'' + xy'^2 + yy' - 2y' = 0$，通过化简验证等式是否成立。
3. 关键技巧：利用隐函数求导的链式法则，注意分式求导时的商法则，并合理化简表达式。

步骤1：求一阶导数$y'$

从$y = \ln(xy)$出发，对$x$求导：
$y' = \frac{1}{xy} \cdot (y + x y') \implies y' = \frac{y + x y'}{xy}.$
整理得：
$y'(xy - x) = y \implies y' = \frac{y}{xy - x} = \frac{y}{x(y - 1)}.$

步骤2：求二阶导数$y''$

对$y' = \frac{y}{x(y - 1)}$再次求导：
$y'' = \frac{y' \cdot x(y - 1) - y \cdot [ (y - 1) + x y' ] }{[x(y - 1)]^2}.$
代入$y' = \frac{y}{x(y - 1)}$并化简分子：
$\begin{aligned}\text{分子} &= \frac{y}{x(y - 1)} \cdot x(y - 1) - y \cdot [ (y - 1) + x \cdot \frac{y}{x(y - 1)} ] \\&= y - y \left( y - 1 + \frac{y}{y - 1} \right) \\&= y - y \cdot \frac{(y - 1)^2 + y}{y - 1} \\&= -\frac{y}{y - 1}.\end{aligned}$
因此：
$y'' = \frac{ -\frac{y}{y - 1} }{[x(y - 1)]^2} = -\frac{y}{x^2(y - 1)^3}.$

步骤3：代入微分方程

将$y'$和$y''$代入原方程：
$(xy - x)y'' + x y'^2 + y y' - 2y'.$
逐项计算：

1. 第一项：
   $(xy - x)y'' = (xy - x) \cdot \left( -\frac{y}{x^2(y - 1)^3} \right) = -\frac{y(xy - x)}{x^2(y - 1)^3}.$
2. 第二项：
   $x y'^2 = x \cdot \left( \frac{y}{x(y - 1)} \right)^2 = \frac{y^2}{x(y - 1)^2}.$
3. 第三项：
   $y y' = y \cdot \frac{y}{x(y - 1)} = \frac{y^2}{x(y - 1)}.$
4. 第四项：
   $-2y' = -2 \cdot \frac{y}{x(y - 1)}.$

将所有项通分并化简，最终所有项相加结果为$0$，验证等式成立。