关于函数f(x,y)=y^3-x^2+6x-12y+5的驻点，极值点，极值说法正确的是（）A. 驻点为(3,2)和(3,-2)，极小值点为(3,-2)，极小值为-24B. 驻点为(3,2)和(3,-2)，极大值点为(3,-2)，极大值为30C. 驻点(3,2)和(3,-2)，极大值点为(3,2)，极大值为-24D. 驻点(3,2)和(3,-2)，极小值点为(3,2)，极小值为30

本题考查二元函数的驻点、极值点和极值的求解。解题思路是先求出函数的驻点，再通过二阶偏导数判断驻点是否为极值点以及是极大值点还是极小值点，最后求出极值。

1. 求驻点：
   • 首先求函数$f(x,y)=y^3 - x^2 + 6x - 12y + 5$的一阶偏导数。
     • 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$x$求偏导数：
       $\frac{\partial f}{\partial x}=-2x + 6$
     • 对$y$求偏导数：
       $\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2 - 12$
   • 令一阶偏导数等于$0$，得到方程组：
     $\begin{cases}-2x + 6 = 0\\3y^2 - 12 = 0\end{cases}$
   • 解第一个方程$-2x + 6 = 0$：
     移项可得$2x = 6$，解得$x = 3$。
   • 解第二个方程$3y^2 - 12 = 0$：
     移项可得$3y^2 = 12$，两边同时除以$3$得$y^2 = 4$，解得$y = \pm 2$。
   • 所以函数的驻点为$(3,2)$和$(3,-2)$。
2. 求二阶偏导数：
   • 对$\frac{\partial f}{\partial x}=-2x + 6$再关于\(x\\)求偏导数：
     $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2$
   • 对$\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2 - 12$再关于$y$求偏导数：
     $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6y$
   • 求混合偏导数$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0$。
3. 判断驻点是否为极值点：
   • 设$A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2$，$B = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0$，$C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6y$。
   • 对于驻点$(3,2)$：
     计算$AC - B^2 = (-2)\times(6\times 2) - 0^2 = -24\lt 0$，所以$(3,2)$不是极值点。
   • 对于驻点$(3,-2)$：
     计算$AC - B^2 = (-2)\times(6\times (-2)) - 0^2 = 24\gt 0$，且$A = -2\lt 0$，所以$(3,-2)$是极大值点。
4. 求极大值：
   • 将$(3,-2)$代入函数$f(x,y)=y^3 - x^2 + 6x - 12y + 5$：
     $\begin{align}f(3,-2)&=(-2)^3 - 3^2 + 6\times 3 - 12\times (-2) + 5\\&=-8 - 9 + 18 + 24 + 5\\&=30\end{align}$