题目
4.设L为椭圆(x^2)/(4)+(y^2)/(3)=1，其周长为a，则oint_(L)(3x^2+4y^2)ds=____.
4.设L为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，其周长为a，则$\oint_{L}(3x^{2}+4y^{2})ds=$____.
题目解答
答案
将椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 转换为 $y^2 = 3 - \frac{3x^2}{4}$，代入被积函数得：
\[
3x^2 + 4y^2 = 3x^2 + 4\left(3 - \frac{3x^2}{4}\right) = 12.
\]
被积函数化简为常数 12，积分变为：
\[
\oint_{L} 12 \, ds = 12 \oint_{L} ds = 12a.
\]
**答案：** $\boxed{12a}$
解析
步骤 1：转换椭圆方程
将椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 转换为 $y^2 = 3 - \frac{3x^2}{4}$。
步骤 2：代入被积函数
将 $y^2 = 3 - \frac{3x^2}{4}$ 代入被积函数 $3x^2 + 4y^2$，得到：\[ 3x^2 + 4\left(3 - \frac{3x^2}{4}\right) = 3x^2 + 12 - 3x^2 = 12. \]
步骤 3：计算积分
积分变为：\[ \oint_{L} 12 \, ds = 12 \oint_{L} ds = 12a. \]
将椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 转换为 $y^2 = 3 - \frac{3x^2}{4}$。
步骤 2：代入被积函数
将 $y^2 = 3 - \frac{3x^2}{4}$ 代入被积函数 $3x^2 + 4y^2$，得到：\[ 3x^2 + 4\left(3 - \frac{3x^2}{4}\right) = 3x^2 + 12 - 3x^2 = 12. \]
步骤 3：计算积分
积分变为：\[ \oint_{L} 12 \, ds = 12 \oint_{L} ds = 12a. \]