题目
级数sum _(n=1)^infty dfrac (cos npi )(sqrt [3]{{n)^2+n}}是（）A. 不能判定.B. 条件收敛;C. 绝对收敛;D. 发散;
级数
是（）
A. 不能判定.
B. 条件收敛;
C. 绝对收敛;
D. 发散;
题目解答
答案
该级数是交错级数，级数
因为
，且
单调递减，所以级数条件收敛。因为
而级数
发散，所以级数
发散，即级数不绝对收敛。综上可知，本题答案为B。
解析
步骤 1：判断级数的类型
级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$是一个交错级数，因为$\cos n\pi$在$n$为奇数时为$-1$，在$n$为偶数时为$1$。因此，级数可以写成$-\dfrac {1}{\sqrt [3]{2}}+\dfrac {1}{\sqrt [3]{6}}-\dfrac {1}{\sqrt [3]{12}}+\cdots$。
步骤 2：应用莱布尼茨判别法
根据莱布尼茨判别法，如果一个交错级数$\sum (-1)^n a_n$满足以下两个条件：
1. $\lim _{n\rightarrow \infty }a_n=0$；
2. $a_n$单调递减。
则该级数收敛。对于级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$，我们有$a_n=\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$。显然，$\lim _{n\rightarrow \infty }a_n=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}=0$，且$a_n$单调递减。因此，级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$条件收敛。
步骤 3：判断级数的绝对收敛性
为了判断级数的绝对收敛性，我们需要考虑级数$\sum _{n=1}^{\infty }|\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}|=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$。我们使用比较判别法，比较$\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$与$\dfrac {1}{n}$。因为$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{{n}^{2}}}}=+\infty$，而级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$发散，所以级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$也发散。因此，级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$不绝对收敛。
级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$是一个交错级数，因为$\cos n\pi$在$n$为奇数时为$-1$，在$n$为偶数时为$1$。因此，级数可以写成$-\dfrac {1}{\sqrt [3]{2}}+\dfrac {1}{\sqrt [3]{6}}-\dfrac {1}{\sqrt [3]{12}}+\cdots$。
步骤 2：应用莱布尼茨判别法
根据莱布尼茨判别法，如果一个交错级数$\sum (-1)^n a_n$满足以下两个条件：
1. $\lim _{n\rightarrow \infty }a_n=0$；
2. $a_n$单调递减。
则该级数收敛。对于级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$，我们有$a_n=\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$。显然，$\lim _{n\rightarrow \infty }a_n=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}=0$，且$a_n$单调递减。因此，级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$条件收敛。
步骤 3：判断级数的绝对收敛性
为了判断级数的绝对收敛性，我们需要考虑级数$\sum _{n=1}^{\infty }|\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}|=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$。我们使用比较判别法，比较$\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$与$\dfrac {1}{n}$。因为$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{{n}^{2}}}}=+\infty$，而级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$发散，所以级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$也发散。因此，级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos n\pi }{\sqrt [3]{{n}^{2}+n}}$不绝对收敛。