4.设z=x+iy为复数，且y≠0，则(z)/(1+z^2)为实数的条件是（）A. xy=1;B. x²-y²=1;C. x²+y²=1;D. y²-x²=1.

考查要点：本题主要考查复数的运算性质及复数为实数的条件。关键在于将复数表达式化简后，通过虚部为零的条件建立方程。

解题思路：

1. 复数有理化：将分母实部化，通过乘以共轭复数消去分母中的虚数部分。
2. 分离虚部：展开分子后，分离实部和虚部，根据复数为实数的条件（虚部为零）建立方程。
3. 化简方程：通过代数运算化简方程，结合已知条件（$y \neq 0$）得到最终关系式。

破题关键：正确处理复数的乘法展开，并准确分离虚部是解题的核心步骤。

设 $ z = x + iy $（$ y \neq 0 $），则：
$\frac{z}{1+z^2} = \frac{x+iy}{1+(x+iy)^2}$
计算分母：
$(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy \implies 1+z^2 = (1+x^2 - y^2) + i(2xy)$
有理化分母：
$\frac{x+iy}{(1+x^2 - y^2) + i(2xy)} \cdot \frac{(1+x^2 - y^2) - i(2xy)}{(1+x^2 - y^2) - i(2xy)} = \frac{(x+iy)\left[(1+x^2 - y^2) - i(2xy)\right]}{(1+x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2}$
展开分子：
$\begin{aligned}\text{分子} &= x(1+x^2 - y^2) - 2x^2yi + iy(1+x^2 - y^2) - 2xy^2i^2 \\&= x(1+x^2 - y^2) + 2xy^2 + i\left[y(1+x^2 - y^2) - 2x^2y\right]\end{aligned}$
虚部为零：
$y(1+x^2 - y^2) - 2x^2y = 0 \quad (\text{因$y \neq 0$，两边除以$y$})$
化简得：
$1 + x^2 - y^2 - 2x^2 = 0 \implies 1 - x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1$